멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 25번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{k!}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}{x}^{k}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence of each series.

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{k!}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}{x}^{k}$

정답·풀이 보기

${a}_{k}=\frac{k!}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}$ so $\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}=\frac{k+1}{2k+1}\to \frac{1}{2}$ so $R=2$

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{k}=\frac{k!}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}$ so $\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}=\frac{k+1}{2k+1}\to \frac{1}{2}$ so $R=2$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 55번우리말 번역

다음 연습문제에서, $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1$ 을 만족시킨다고 하자. 단, 각 n 에 대해 ${a}_{n}\ge 0$ 이다. 각 급수가 구간 $(-1,1)$ 전체에서 수렴하는지, 아니면 결론을 내릴 정보가 충분하지 않은지 말하세요. 적절한 경우 비교판정법을 사용하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{{n}^{2}}{x}^{{n}^{2}}$ (힌트: 어떤 n 에 대해 $k={n}^{2}$ 이면 ${b}_{k}={a}_{k}$ 로 놓고, 그렇지 않으면 ${b}_{k}=0.)$ 으로 놓는다.)

다 풀었으면 정답 확인

$\sum {b}_{k}{x}^{k}$ 을 생각하자. 여기서 $k={n}^{2}$ 이면 ${b}_{k}={a}_{k}$ 이고, 그렇지 않으면 ${b}_{k}=0$ 이다. 그러면 ${b}_{k}\le {a}_{k}$ 이므로 비교판정법에 의해 이 급수는 $(-1,1)$ 에서 수렴한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류