멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 55번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 55번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1$ 을 만족시킨다고 하자. 단, 각 n 에 대해 ${a}_{n}\ge 0$ 이다. 각 급수가 구간 $(-1,1)$ 전체에서 수렴하는지, 아니면 결론을 내릴 정보가 충분하지 않은지 말하세요. 적절한 경우 비교판정법을 사용하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{{n}^{2}}{x}^{{n}^{2}}$ (힌트: 어떤 n 에 대해 $k={n}^{2}$ 이면 ${b}_{k}={a}_{k}$ 로 놓고, 그렇지 않으면 ${b}_{k}=0.)$ 으로 놓는다.)

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ satisfies $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1$ where ${a}_{n}\ge 0$ for each n. State whether each series converges on the full interval $(-1,1),$ or if there is not enough information to draw a conclusion. Use the comparison test when appropriate.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{{n}^{2}}{x}^{{n}^{2}}$ (Hint: Let ${b}_{k}={a}_{k}$ if $k={n}^{2}$ for some n, otherwise ${b}_{k}=0.)$

정답·풀이 보기

$\sum {b}_{k}{x}^{k}$ 을 생각하자. 여기서 $k={n}^{2}$ 이면 ${b}_{k}={a}_{k}$ 이고, 그렇지 않으면 ${b}_{k}=0$ 이다. 그러면 ${b}_{k}\le {a}_{k}$ 이므로 비교판정법에 의해 이 급수는 $(-1,1)$ 에서 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Consider the series $\sum {b}_{k}{x}^{k}$ where ${b}_{k}={a}_{k}$ if $k={n}^{2}$ and ${b}_{k}=0$ otherwise. Then ${b}_{k}\le {a}_{k}$ and so the series converges on $(-1,1)$ by the comparison test.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 27번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{\left(\begin{array}{c}2n \\ n\end{array}\right)}$ 여기서 $\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

다 풀었으면 정답 확인

${a}_{n}=\frac{1}{\left(\begin{array}{c}2n \\ n\end{array}\right)}$ so $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{((n+1)!)}^{2}}{(2n+2)!}\,\frac{2n!}{{(n!)}^{2}}=\frac{{(n+1)}^{2}}{(2n+2)(2n+1)}\to \frac{1}{4}$ so $R=4$

이 문제로 이어서 풀기

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