멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 27번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{\left(\begin{array}{c}2n \\ n\end{array}\right)}$ 여기서 $\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence of each series.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{\left(\begin{array}{c}2n \\ n\end{array}\right)}$ where $\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=\frac{1}{\left(\begin{array}{c}2n \\ n\end{array}\right)}$ so $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{((n+1)!)}^{2}}{(2n+2)!}\,\frac{2n!}{{(n!)}^{2}}=\frac{{(n+1)}^{2}}{(2n+2)(2n+1)}\to \frac{1}{4}$ so $R=4$

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 57번우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-0.99,0.99]$ 에서 $\frac{1}{1-x}$ 의 그래프와, $n=10,20,30$ 에 대한 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{x}^{n}$ 의 그래프를 그리세요. N 이 증가함에 따라 $x=-1$ 근처와 $x=1$ 근처에서 ${S}_{N}$ 이 $\frac{1}{1-x}$ 을 근사하는 정도에 대해 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 그림은 y = 1/(1-x) 의 그래프로, 증가하는 곡선이며 1에서 수직 점근선을 갖는다.

근사는 $x=-1$ 근처에서 더 정확하다. N 이 증가함에 따라 부분합은 $\frac{1}{1-x}$ 에 더 가깝게 따라가지만, $x=1$ 근처에서는 급수가 발산하므로 결코 정확하지 않다.

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