멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 57번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 57번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-0.99,0.99]$ 에서 $\frac{1}{1-x}$ 의 그래프와, $n=10,20,30$ 에 대한 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{x}^{n}$ 의 그래프를 그리세요. N 이 증가함에 따라 $x=-1$ 근처와 $x=1$ 근처에서 ${S}_{N}$ 이 $\frac{1}{1-x}$ 을 근사하는 정도에 대해 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Plot the graphs of $\frac{1}{1-x}$ and of the partial sums ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{x}^{n}$ for $n=10,20,30$ on the interval $[-0.99,0.99].$ Comment on the approximation of $\frac{1}{1-x}$ by ${S}_{N}$ near $x=-1$ and near $x=1$ as N increases.

정답·풀이 보기

이 그림은 y = 1/(1-x) 의 그래프로, 증가하는 곡선이며 1에서 수직 점근선을 갖는다.

근사는 $x=-1$ 근처에서 더 정확하다. N 이 증가함에 따라 부분합은 $\frac{1}{1-x}$ 에 더 가깝게 따라가지만, $x=1$ 근처에서는 급수가 발산하므로 결코 정확하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is the graph of y = 1/(1-x), which is an increasing curve with vertical asymptote at 1.

The approximation is more accurate near $x=-1.$ The partial sums follow $\frac{1}{1-x}$ more closely as N increases but are never accurate near $x=1$ since the series diverges there.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 29번우리말 번역

다음 연습문제에서 비판정법을 사용하여 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(n!)}^{3}}{(3n)!}{x}^{n}$

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{(n+1)}^{3}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}\to \frac{1}{27}$ so $R=27$

이 문제로 이어서 풀기

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