멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 29번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 29번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 비판정법을 사용하여 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(n!)}^{3}}{(3n)!}{x}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the ratio test to determine the radius of convergence of each series.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(n!)}^{3}}{(3n)!}{x}^{n}$

정답·풀이 보기

$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{(n+1)}^{3}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}\to \frac{1}{27}$ so $R=27$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{(n+1)}^{3}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}\to \frac{1}{27}$ so $R=27$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 51번우리말 번역

$p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $(-1,1]$ 에서 수렴한다고 하자. $p(2x-1)$ 의 수렴 구간을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$x\in [0,1]$ 이면 $y=2x-1\in [-1,1]$ 이므로 $p(2x-1)=p(y)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{y}^{n}$ 은 수렴한다.