멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 51번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 51번대학 수준우리말 번역

$p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $(-1,1]$ 에서 수렴한다고 하자. $p(2x-1)$ 의 수렴 구간을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ converges on $(-1,1].$ Find the interval of convergence of $p(2x-1).$

정답·풀이 보기

$x\in [0,1]$ 이면 $y=2x-1\in [-1,1]$ 이므로 $p(2x-1)=p(y)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{y}^{n}$ 은 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

If $x\in [0,1],$ then $y=2x-1\in [-1,1]$ so $p(2x-1)=p(y)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{y}^{n}$ converges.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 53번우리말 번역

다음 문제에서 $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1$ 을 만족시키고 모든 n 에 대해 ${a}_{n}\ge 0$ 이라고 하자. 각 급수가 구간 $(-1,1)$ 전체에서 수렴하는지, 아니면 결론을 내리기에 정보가 충분하지 않은지 말하세요. 적절한 경우 비교판정법을 사용하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{2n}{x}^{2n}$

다 풀었으면 정답 확인

비판정법에 의해 $(-1,1)$ 에서 수렴한다.

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