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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

멱급수와 수렴 반경

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 2권 · 6.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

∑n=0∞an(x−3)n\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x-3)}^{n} 이 x=6x=6 에서 수렴한다고 하자. 다음 중 이 급수가 발산할 수도 있는 점은 어느 것인지 구하세요. ∑an(x−c)n\sum {a}_{n}{(x-c)}^{n} 이 x 에서 수렴하면 c 에 x 보다 더 가까운 모든 점에서도 수렴한다는 사실을 이용하세요.

a. x=1x=1 b. x=2x=2 c. x=3x=3 d. x=0x=0 e. x=5.99x=5.99 f. x=0.000001x=0.000001

영어 원문 보기

Suppose that ∑n=0∞an(x−3)n\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x-3)}^{n} converges at x=6.x=6. At which of the following points might the series diverge? Use the fact that if ∑an(x−c)n\sum {a}_{n}{(x-c)}^{n} converges at x, then it converges at any point closer to c than x.

a. x=1x=1 b. x=2x=2 c. x=3x=3 d. x=0x=0 e. x=5.99x=5.99 f. x=0.000001x=0.000001

정답·풀이 보기

이 급수는 (0,6](0,6] 에서 반드시 수렴하므로 a. x=1;x=1; b. x=2;x=2; c. x=3;x=3; d. x=0;x=0; e. x=5.99;x=5.99; f. x=0.000001x=0.000001 에서 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

It must converge on (0,6](0,6] and hence at: a. x=1;x=1; b. x=2;x=2; c. x=3;x=3; d. x=0;x=0; e. x=5.99;x=5.99; and f. x=0.000001.x=0.000001.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 7번우리말 번역

다음 문제에서 n→∞n\to \infty 일 때 ∣an+1an∣→1|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1 이라고 가정하고, 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

∑n=0∞an2nxn\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{2}^{n}{x}^{n}

다 풀었으면 정답 확인

∣an+12n+1xn+1an2nxn∣=2∣x∣∣an+1an∣→2∣x∣|\frac{{a}_{n+1}{2}^{n+1}{x}^{n+1}}{{a}_{n}{2}^{n}{x}^{n}}|=2|x||\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 2|x| so R=12R=\frac{1}{2}

이 문제로 이어서 풀기
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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