멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 31번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 31번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 비판정법을 사용하여 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n!}{{n}^{n}}{x}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the ratio test to determine the radius of convergence of each series.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n!}{{n}^{n}}{x}^{n}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=\frac{n!}{{n}^{n}}$ so $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{(n+1)!}{n!}\,\frac{{n}^{n}}{{(n+1)}^{n+1}}={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{n}\to \frac{1}{e}$ so $R=e$

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=\frac{n!}{{n}^{n}}$ so $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{(n+1)!}{n!}\,\frac{{n}^{n}}{{(n+1)}^{n+1}}={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{n}\to \frac{1}{e}$ so $R=e$

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 8.6절 · 2번우리말 번역

수렴 반지름과 수렴 구간의 차이는 무엇인가요?

다 풀었으면 정답 확인

수렴 반지름은 $x=c$ 를 중심으로 하는 거듭제곱급수가 $(c-R,c+R)$ 안의 모든 $x$ 의 값에 대해 수렴하도록 하는 값 $R$ 이다. 수렴 구간은 거듭제곱급수가 수렴하는 구간이며, $(c-R,c+R)$ 와는 양 끝점에서만 다를 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류