멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 33번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 이 $(-1,1)$ 에서 수렴한다는 것을 이용하여, 주어진 중심 a 에 대해 각 함수의 거듭제곱급수를 구하고 그 수렴구간을 구하세요.

$f(x)=\frac{1}{x};a=1$ (힌트: $\frac{1}{x}=\frac{1}{1-(1-x)})$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ with convergence in $(-1,1),$ find the power series for each function with the given center a, and identify its interval of convergence.

$f(x)=\frac{1}{x};a=1$ (Hint: $\frac{1}{x}=\frac{1}{1-(1-x)})$

정답·풀이 보기

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{(1-x)}^{n}$ on $I=(0,2)$

원본 교재 풀이(영어)

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{(1-x)}^{n}$ on $I=(0,2)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 31번우리말 번역

다음 연습문제에서 비판정법을 사용하여 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n!}{{n}^{n}}{x}^{n}$

다 풀었으면 정답 확인

${a}_{n}=\frac{n!}{{n}^{n}}$ so $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{(n+1)!}{n!}\,\frac{{n}^{n}}{{(n+1)}^{n+1}}={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{n}\to \frac{1}{e}$ so $R=e$

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