멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 41번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 41번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 이고 $(-1,1)$ 에서 수렴한다는 사실을 이용하여, 주어진 중심 a 에 대해 각 함수의 거듭제곱급수를 구하고 그 수렴 구간을 말하세요.

$f(x)=\frac{{x}^{2}}{1-4{x}^{2}};a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ with convergence in $(-1,1),$ find the power series for each function with the given center a, and identify its interval of convergence.

$f(x)=\frac{{x}^{2}}{1-4{x}^{2}};a=0$

정답·풀이 보기

$\sum_{n=0}^{\infty }{4}^{n}{x}^{2n+2}$ on $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=0}^{\infty }{4}^{n}{x}^{2n+2}$ on $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 11번우리말 번역

다음 연습문제에서 $n\to \infty$ 일 때 $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ 이라고 가정합니다. 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{2n}$

다 풀었으면 정답 확인

$|\frac{{a}_{n+1}{(-1)}^{n+1}{x}^{2n+2}}{{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{2n}}|=|{x}^{2}||\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to |{x}^{2}|$ so $R=1$

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