멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 43번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 43번대학 수준우리말 번역

${|{a}_{n}|}^{1/n}\to r>0$ 이면 $|x|<\frac{1}{r}$ 일 때마다 ${|{a}_{n}{x}^{n}|}^{1/n}\to |x|r<1$ 이고, 따라서 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름이 $R=\frac{1}{r}$ 인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain why, if ${|{a}_{n}|}^{1/n}\to r>0,$ then ${|{a}_{n}{x}^{n}|}^{1/n}\to |x|r<1$ whenever $|x|<\frac{1}{r}$ and, therefore, the radius of convergence of $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ is $R=\frac{1}{r}.$

정답·풀이 보기

$n\to \infty$ 일 때 ${|{a}_{n}{x}^{n}|}^{1/n}={|{a}_{n}|}^{1/n}|x|\to |x|r$ 이고, $|x|<\frac{1}{r}$ 일 때 $|x|r<1$ 이다. 따라서 n제곱근 판정법에 의해 $|x|<\frac{1}{r}$ 일 때 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 은 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

${|{a}_{n}{x}^{n}|}^{1/n}={|{a}_{n}|}^{1/n}|x|\to |x|r$ as $n\to \infty$ and $|x|r<1$ when $|x|<\frac{1}{r}.$ Therefore, $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ converges when $|x|<\frac{1}{r}$ by the nth root test.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 41번우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 이고 $(-1,1)$ 에서 수렴한다는 사실을 이용하여, 주어진 중심 a 에 대해 각 함수의 거듭제곱급수를 구하고 그 수렴 구간을 말하세요.

$f(x)=\frac{{x}^{2}}{1-4{x}^{2}};a=0$

다 풀었으면 정답 확인

$\sum_{n=0}^{\infty }{4}^{n}{x}^{2n+2}$ on $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

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