멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 53번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 53번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1$ 을 만족시키고 모든 n 에 대해 ${a}_{n}\ge 0$ 이라고 하자. 각 급수가 구간 $(-1,1)$ 전체에서 수렴하는지, 아니면 결론을 내리기에 정보가 충분하지 않은지 말하세요. 적절한 경우 비교판정법을 사용하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{2n}{x}^{2n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ satisfies $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1$ where ${a}_{n}\ge 0$ for each n. State whether each series converges on the full interval $(-1,1),$ or if there is not enough information to draw a conclusion. Use the comparison test when appropriate.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{2n}{x}^{2n}$

정답·풀이 보기

비판정법에 의해 $(-1,1)$ 에서 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges on $(-1,1)$ by the ratio test

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 59번우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-0.99,0.99]$ 에서 $n=10,50,100$ 일 때 부분합 ${S}_{n}=\sum_{n=1}^{N}\frac{{x}^{n}}{{n}^{2}}$ 의 그래프를 그리세요. $N$ 이 증가함에 따라 $x=-1$ 근처와 $x=1$ 근처에서 부분합의 변화 양상에 대해 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 그림은 y = -ln(1-x) 의 그래프로, 원점을 지나는 증가하는 곡선이다.

근사는 $x=\pm 1$ 두 근처 모두에서 빠르게 안정되는 것으로 보인다.

이 문제로 이어서 풀기

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