멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 9번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $n\to \infty$ 일 때 $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ 이라고 가정합니다. 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{a}_{n}{\pi }^{n}{x}^{n}}{{e}^{n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ as $n\to \infty .$ Find the radius of convergence for each series.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{a}_{n}{\pi }^{n}{x}^{n}}{{e}^{n}}$

정답·풀이 보기

$|\frac{{a}_{n+1}{\left(\frac{\pi }{e}\right)}^{n+1}{x}^{n+1}}{{a}_{n}{\left(\frac{\pi }{e}\right)}^{n}{x}^{n}}|=\frac{\pi |x|}{e}|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to \frac{\pi |x|}{e}$ so $R=\frac{e}{\pi }$

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 1번우리말 번역

다음 문제에서 각 명제가 참인지 말하고, 거짓이면 그것을 보이는 예를 드세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 수렴하면 $n\to \infty$ 일 때 ${a}_{n}{x}^{n}\to 0$ 이다.

다 풀었으면 정답 확인

참이다. 급수가 수렴하면 그 항은 0에 수렴한다.

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