테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 14번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 이항 정리를 사용하여 각 수를 어림하세요. 오차가 $1/1000$ 이하인 어림값을 얻을 수 있도록 충분한 항까지 계산하세요.

[계산기 사용] ${(1000+x)}^{1/3}$ 을 이용하여 ${(1001)}^{1/3}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the binomial theorem to estimate each number, computing enough terms to obtain an estimate accurate to an error of at most $1/1000.$

[T] ${(1001)}^{1/3}$ using ${(1000+x)}^{1/3}$

정답·풀이 보기

$10{\left(1+\frac{x}{1000}\right)}^{1/3}=\sum_{n=0}^{\infty }{10}^{1-3n}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ n\end{array}\right){x}^{n}$ . 예를 들어 $x=1$ 에서 4차 어림을 사용하면 $\begin{array}{cc}{(1001)}^{1/3} & \approx 10\left(1+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 1\end{array}\right){10}^{-3}+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 2\end{array}\right){10}^{-6}+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 3\end{array}\right){10}^{-9}+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 4\end{array}\right){10}^{-12}\right) \\ & =10\left(1+\frac{1}{{3.10}^{3}}-\frac{1}{{9.10}^{6}}+\frac{5}{{81.10}^{9}}-\frac{10}{{243.10}^{12}}\right)=10.00333222...\end{array}$ 이고, 실제로는 ${(1001)}^{1/3}=10.00332222839093$ 이다. 항 두 개만으로도 소수 셋째 자리까지의 정확도에는 충분하다.

원본 교재 풀이(영어)

$10{\left(1+\frac{x}{1000}\right)}^{1/3}=\sum_{n=0}^{\infty }{10}^{1-3n}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ n\end{array}\right){x}^{n}.$ Using, for example, a fourth-degree estimate at $x=1$ gives $\begin{array}{cc}{(1001)}^{1/3} & \approx 10\left(1+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 1\end{array}\right){10}^{-3}+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 2\end{array}\right){10}^{-6}+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 3\end{array}\right){10}^{-9}+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 4\end{array}\right){10}^{-12}\right) \\ & =10\left(1+\frac{1}{{3.10}^{3}}-\frac{1}{{9.10}^{6}}+\frac{5}{{81.10}^{9}}-\frac{10}{{243.10}^{12}}\right)=10.00333222...\end{array}$ whereas ${(1001)}^{1/3}=10.00332222839093....$ Two terms would suffice for three-digit accuracy.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 22번우리말 번역

다음 문제에서 전개식 ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ 을 이용하여 각 식의 처음 다섯 항(반드시 사차 다항식일 필요는 없음)을 쓰세요.

${(1+4x)}^{4/3};a=0$

다 풀었으면 정답 확인

$\begin{array}{c}{(1+4x)}^{4/3}=(1+4x){(1+4x)}^{1/3} \\ =(1+4x)\left(1+\frac{4x}{3}-\frac{16{x}^{3}}{9}+\frac{320{x}^{3}}{81}-\frac{2560{x}^{4}}{243}\right) \\ =1+\frac{16}{3}x+\frac{32}{9}{x}^{2}-\frac{256}{81}{x}^{3}+\frac{1280}{243}{x}^{4}-\frac{10240}{243}{x}^{5}\end{array}$

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류