테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 20번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 20번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $\sqrt{1-{x}^{2}}$ 의 그래프는 반지름이 $1$ 인 위쪽 반원임을 떠올리세요. $\sqrt{1-{x}^{2}}$ 의 $8$ 차까지의 이항 근사를 $x=-1$ 에서 $x=1$ 까지 적분하여 $\frac{\pi }{2}$ 를 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] Recall that the graph of $\sqrt{1-{x}^{2}}$ is an upper semicircle of radius $1.$ Integrate the binomial approximation of $\sqrt{1-{x}^{2}}$ up to order $8$ from $x=-1$ to $x=1$ to estimate $\frac{\pi }{2}.$

정답·풀이 보기

$\sqrt{1-{x}^{2}}=1-\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{x}^{4}}{8}-\frac{{x}^{6}}{16}-\frac{5{x}^{8}}{128}+\cdots$ . 따라서

${\int }_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx=x-\frac{{x}^{3}}{6}-\frac{{x}^{5}}{40}-\frac{{x}^{7}}{7\cdot 16}-\frac{5{x}^{9}}{9\cdot 128}+\cdots {|}_{-1}^{1}\approx 2-\frac{1}{3}-\frac{1}{20}-\frac{1}{56}-\frac{10}{9\cdot 128}+\text{오차}=1.590$ 이고, 한편 $\frac{\pi }{2}=1.570$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{1-{x}^{2}}=1-\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{x}^{4}}{8}-\frac{{x}^{6}}{16}-\frac{5{x}^{8}}{128}+\cdots .$ Thus

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 72번우리말 번역

프레넬 적분은 $C(x)={\int }_{0}^{x}\cos ({t}^{2})dt$ 와 $S(x)={\int }_{0}^{x}\sin ({t}^{2})dt$ 로 정의됩니다. $C(x)$ 와 $S(x)$ 의 거듭제곱급수를 구하고, 0이 아닌 처음 $N=50$ 개의 항의 합 ${C}_{N}(x)$ 와 ${S}_{N}(x)$ 를 $[0,2\pi ]$ 에서 그래프로 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 그래프에는 두 개의 곡선이 있다. 첫 번째 곡선은 C 아래첨자 50 (x)라고 표시된 실선이다. 이 곡선은 원점에서 시작하며, 진폭이 점점 줄어드는 파동 모양이다. 가장 높이 올라가는 값은 y = 1이다. 두 번째 곡선은 S 아래첨자 50 (x)라고 표시되어 있다. 이 곡선도 진폭이 점점 줄어드는 파동 모양이며, 가장 높이 올라가는 값은 0.9이다. 이 곡선은 첫 번째 곡선의 형태와 매우 비슷하며, 오른쪽으로 약간 이동해 있다.

$\cos ({t}^{2})=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{4n}}{(2n)!}$ 이고 $\sin ({t}^{2})=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{4n+2}}{(2n+1)!}$ 이므로, $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}$ 이고 $C(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}$ 이다. 0이 아닌 처음 $50$ 개의 항의 합을 아래에 그렸으며, ${C}_{50}(x)$ 는 실선, ${S}_{50}(x)$ 는 점선이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 급수의 활용그래프·표 해석자동 분류