테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 72번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 72번대학 수준우리말 번역

프레넬 적분은 $C(x)={\int }_{0}^{x}\cos ({t}^{2})dt$ 와 $S(x)={\int }_{0}^{x}\sin ({t}^{2})dt$ 로 정의됩니다. $C(x)$ 와 $S(x)$ 의 거듭제곱급수를 구하고, 0이 아닌 처음 $N=50$ 개의 항의 합 ${C}_{N}(x)$ 와 ${S}_{N}(x)$ 를 $[0,2\pi ]$ 에서 그래프로 그리세요.

영어 원문 보기

The Fresnel integrals are defined by $C(x)={\int }_{0}^{x}\cos ({t}^{2})dt$ and $S(x)={\int }_{0}^{x}\sin ({t}^{2})dt.$ Compute the power series of $C(x)$ and $S(x)$ and plot the sums ${C}_{N}(x)$ and ${S}_{N}(x)$ of the first $N=50$ nonzero terms on $[0,2\pi ].$

정답·풀이 보기

이 그래프에는 두 개의 곡선이 있다. 첫 번째 곡선은 C 아래첨자 50 (x)라고 표시된 실선이다. 이 곡선은 원점에서 시작하며, 진폭이 점점 줄어드는 파동 모양이다. 가장 높이 올라가는 값은 y = 1이다. 두 번째 곡선은 S 아래첨자 50 (x)라고 표시되어 있다. 이 곡선도 진폭이 점점 줄어드는 파동 모양이며, 가장 높이 올라가는 값은 0.9이다. 이 곡선은 첫 번째 곡선의 형태와 매우 비슷하며, 오른쪽으로 약간 이동해 있다.

$\cos ({t}^{2})=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{4n}}{(2n)!}$ 이고 $\sin ({t}^{2})=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{4n+2}}{(2n+1)!}$ 이므로, $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}$ 이고 $C(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}$ 이다. 0이 아닌 처음 $50$ 개의 항의 합을 아래에 그렸으며, ${C}_{50}(x)$ 는 실선, ${S}_{50}(x)$ 는 점선이다.

원본 교재 풀이(영어)

This graph has two curves. The first one is a solid curve labeled Csub50(x). It begins at the origin and is a wave that gradually decreases in amplitude. The highest it reaches is y = 1. The second curve is labeled Ssub50(x). It is a wave that gradually decreases in amplitude. The highest it reaches is 0.9. It is very close to the pattern of the first curve with a slight shift to the right.

Since $\cos ({t}^{2})=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{4n}}{(2n)!}$ and $\sin ({t}^{2})=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{4n+2}}{(2n+1)!},$ one has $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}$ and $C(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.$ The sums of the first $50$ nonzero terms are plotted below with ${C}_{50}(x)$ the solid curve and ${S}_{50}(x)$ the dashed curve.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 18번우리말 번역

다음 연습문제에서, $|x|<1$ 일 때의 이항 근사 $\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{128}-\frac{7{x}^{5}}{256}$ 을 이용하여 각 수를 어림하세요. 이 값을 공학용 계산기로 구한 값과 비교하세요.

[계산기 사용] ${(1-x)}^{1/2}$ 에서 $x=\frac{5}{6}$ 를 이용하여 $\sqrt{6}$

다 풀었으면 정답 확인

근삿값은 $2.583\ldots ;$ CAS 값은 $2.449\ldots$ 이다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류