테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 24번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 전개식 ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ 을 이용하여 각 식의 처음 다섯 항(반드시 4차 다항식일 필요는 없다)을 구하세요.

${({x}^{2}+6x+10)}^{1/3};a=-3$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the expansion ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ to write the first five terms (not necessarily a quartic polynomial) of each expression.

${({x}^{2}+6x+10)}^{1/3};a=-3$

정답·풀이 보기

${(1+{(x+3)}^{2})}^{1/3}=1+\frac{1}{3}{(x+3)}^{2}-\frac{1}{9}{(x+3)}^{4}+\frac{5}{81}{(x+3)}^{6}-\frac{10}{243}{(x+3)}^{8}+\cdots$

원본 교재 풀이(영어)

${(1+{(x+3)}^{2})}^{1/3}=1+\frac{1}{3}{(x+3)}^{2}-\frac{1}{9}{(x+3)}^{4}+\frac{5}{81}{(x+3)}^{6}-\frac{10}{243}{(x+3)}^{8}+\cdots$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 76번우리말 번역

근사식 $T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+\frac{{k}^{2}}{4}\right)$ 을 이용하여 길이가 $10$ 미터이고 최대 각이 ${\theta }_{\max }=\frac{\pi }{6}$ 인 진자의 주기를 어림하세요. 여기서 $k=\sin \left(\frac{{\theta }_{\max }}{2}\right)$ 입니다. 이 값을 작은 각 추정값 $T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ 과 비교하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$T\approx 2\pi \sqrt{\frac{10}{9.8}}\left(1+\frac{{\sin }^{2}(\theta /12)}{4}\right)\approx 6.453$ 초이다. 작은 각 추정값은 $T\approx 2\pi \sqrt{\frac{10}{9.8}\approx 6.347}$ 이다. 상대오차는 약 $2$ 퍼센트이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류