테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 76번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 76번대학 수준우리말 번역

근사식 $T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+\frac{{k}^{2}}{4}\right)$ 을 이용하여 길이가 $10$ 미터이고 최대 각이 ${\theta }_{\max }=\frac{\pi }{6}$ 인 진자의 주기를 어림하세요. 여기서 $k=\sin \left(\frac{{\theta }_{\max }}{2}\right)$ 입니다. 이 값을 작은 각 추정값 $T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ 과 비교하세요.

영어 원문 보기

Use the approximation $T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+\frac{{k}^{2}}{4}\right)$ to approximate the period of a pendulum having length $10$ meters and maximum angle ${\theta }_{\max }=\frac{\pi }{6}$ where $k=\sin \left(\frac{{\theta }_{\max }}{2}\right).$ Compare this with the small angle estimate $T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.$

정답·풀이 보기

$T\approx 2\pi \sqrt{\frac{10}{9.8}}\left(1+\frac{{\sin }^{2}(\theta /12)}{4}\right)\approx 6.453$ 초이다. 작은 각 추정값은 $T\approx 2\pi \sqrt{\frac{10}{9.8}\approx 6.347}$ 이다. 상대오차는 약 $2$ 퍼센트이다.

원본 교재 풀이(영어)

$T\approx 2\pi \sqrt{\frac{10}{9.8}}\left(1+\frac{{\sin }^{2}(\theta /12)}{4}\right)\approx 6.453$ seconds. The small angle estimate is $T\approx 2\pi \sqrt{\frac{10}{9.8}\approx 6.347}.$ The relative error is around $2$ percent.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 14번우리말 번역

다음 연습문제에서 이항 정리를 사용하여 각 수를 어림하세요. 오차가 $1/1000$ 이하인 어림값을 얻을 수 있도록 충분한 항까지 계산하세요.

[계산기 사용] ${(1000+x)}^{1/3}$ 을 이용하여 ${(1001)}^{1/3}$

다 풀었으면 정답 확인

$10{\left(1+\frac{x}{1000}\right)}^{1/3}=\sum_{n=0}^{\infty }{10}^{1-3n}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ n\end{array}\right){x}^{n}$ . 예를 들어 $x=1$ 에서 4차 어림을 사용하면 $\begin{array}{cc}{(1001)}^{1/3} & \approx 10\left(1+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 1\end{array}\right){10}^{-3}+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 2\end{array}\right){10}^{-6}+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 3\end{array}\right){10}^{-9}+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 4\end{array}\right){10}^{-12}\right) \\ & =10\left(1+\frac{1}{{3.10}^{3}}-\frac{1}{{9.10}^{6}}+\frac{5}{{81.10}^{9}}-\frac{10}{{243.10}^{12}}\right)=10.00333222...\end{array}$ 이고, 실제로는 ${(1001)}^{1/3}=10.00332222839093$ 이다. 항 두 개만으로도 소수 셋째 자리까지의 정확도에는 충분하다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 급수의 활용활용자동 분류