테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 26번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 26번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 전개식 ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ 을 이용하여 각 식의 처음 다섯 항(반드시 4차 다항식일 필요는 없다)을 구하세요.

$|x|<1$ 에 대해 근사식 ${(1-x)}^{2/3}=1-\frac{2x}{3}-\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{4{x}^{3}}{81}-\frac{7{x}^{4}}{243}-\frac{14{x}^{5}}{729}+\cdots$ 을 이용하여 ${2}^{1/3}={2.2}^{-2/3}$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, use the expansion ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ to write the first five terms (not necessarily a quartic polynomial) of each expression.

Use the approximation ${(1-x)}^{2/3}=1-\frac{2x}{3}-\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{4{x}^{3}}{81}-\frac{7{x}^{4}}{243}-\frac{14{x}^{5}}{729}+\cdots$ for $|x|<1$ to approximate ${2}^{1/3}={2.2}^{-2/3}.$

정답·풀이 보기

근삿값의 2배는 $1.260\ldots$ 인 반면 ${2}^{1/3}=1.2599$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Twice the approximation is $1.260\ldots$ whereas ${2}^{1/3}=1.2599....$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 74번우리말 번역

다음 문제들은 프레넬 적분에 관한 것이다.

이항식 근사 $1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{2128}-\frac{7{x}^{5}}{256}$ 을 이용하여 $\sqrt{1-x}$ 를 근사함으로써 ${\int }_{0}^{1/4}\sqrt{x-{x}^{2}}dx$ 의 값을 어림하세요.

다 풀었으면 정답 확인

${\int }_{0}^{1/4}\sqrt{x}\left(1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{128}-\frac{7{x}^{5}}{256}\right)dx$

$=\frac{2}{3}{2}^{-3}-\frac{1}{2}\,\frac{2}{5}{2}^{-5}-\frac{1}{8}\,\frac{2}{7}{2}^{-7}-\frac{1}{16}\,\frac{2}{9}{2}^{-9}-\frac{5}{128}\,\frac{2}{11}{2}^{-11}-\frac{7}{256}\,\frac{2}{13}{2}^{-13}=0.0767732...$ .

반면 ${\int }_{0}^{1/4}\sqrt{x-{x}^{2}}dx=0.076773$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류