테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 74번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 74번대학 수준우리말 번역

다음 문제들은 프레넬 적분에 관한 것이다.

이항식 근사 $1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{2128}-\frac{7{x}^{5}}{256}$ 을 이용하여 $\sqrt{1-x}$ 를 근사함으로써 ${\int }_{0}^{1/4}\sqrt{x-{x}^{2}}dx$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

The following exercises deal with Fresnel integrals.

Estimate ${\int }_{0}^{1/4}\sqrt{x-{x}^{2}}dx$ by approximating $\sqrt{1-x}$ using the binomial approximation $1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{2128}-\frac{7{x}^{5}}{256}.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{1/4}\sqrt{x}\left(1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{128}-\frac{7{x}^{5}}{256}\right)dx$

$=\frac{2}{3}{2}^{-3}-\frac{1}{2}\,\frac{2}{5}{2}^{-5}-\frac{1}{8}\,\frac{2}{7}{2}^{-7}-\frac{1}{16}\,\frac{2}{9}{2}^{-9}-\frac{5}{128}\,\frac{2}{11}{2}^{-11}-\frac{7}{256}\,\frac{2}{13}{2}^{-13}=0.0767732...$ .

반면 ${\int }_{0}^{1/4}\sqrt{x-{x}^{2}}dx=0.076773$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1/4}\sqrt{x}\left(1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{128}-\frac{7{x}^{5}}{256}\right)dx$

whereas ${\int }_{0}^{1/4}\sqrt{x-{x}^{2}}dx=0.076773.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 16번우리말 번역

다음 연습문제에서 $|x|<1$ 일 때의 이항식 근사 $\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{128}-\frac{7{x}^{5}}{256}$ 을 이용하여 각 수를 어림하세요. 이 값을 공학용 계산기로 구한 값과 비교하세요.

[계산기 사용] $\sqrt{5}=5\,\times \,\frac{1}{\sqrt{5}}$ 이고, ${(1-x)}^{1/2}$ 에서 $x=\frac{4}{5}$ 를 이용하세요.

다 풀었으면 정답 확인

근삿값은 $2.3152$ 이고, 컴퓨터 대수 시스템으로 구한 값은 $2.23\ldots$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류