테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 36번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 36번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 매클로린 급수를 구하세요.

항등식 ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (2x)$ 를 이용하여 $f(x)={\sin }^{2}x$ 의 매클로린 급수를 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series of each function.

$f(x)={\sin }^{2}x$ using the identity ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (2x)$

정답·풀이 보기

${\sin }^{2}x=-\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{k}{2}^{2k-1}{x}^{2k}}{(2k)!}$

원본 교재 풀이(영어)

${\sin }^{2}x=-\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{k}{2}^{2k-1}{x}^{2k}}{(2k)!}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 62번우리말 번역

$y=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 일 때, $x{y}^{'}$ 과 ${x}^{2}{y}^{''}$ 의 거듭제곱급수 전개를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

항별 미분 정리에 의해 ${y}^{'}=\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n-1}$ 이므로 ${y}^{'}=\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n-1}\,x{y}^{'}=\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n}$ 이고, 한편 ${y}^{'}=\sum_{n=2}^{\infty }n(n-1){a}_{n}{x}^{n-2}$ 이므로 $x{y}^{''}=\sum_{n=2}^{\infty }n(n-1){a}_{n}{x}^{n}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류