테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 62번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 62번대학 수준우리말 번역

$y=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 일 때, $x{y}^{'}$ 과 ${x}^{2}{y}^{''}$ 의 거듭제곱급수 전개를 구하세요.

영어 원문 보기

If $y=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n},$ find the power series expansions of $x{y}^{'}$ and ${x}^{2}{y}^{''}.$

정답·풀이 보기

항별 미분 정리에 의해 ${y}^{'}=\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n-1}$ 이므로 ${y}^{'}=\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n-1}\,x{y}^{'}=\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n}$ 이고, 한편 ${y}^{'}=\sum_{n=2}^{\infty }n(n-1){a}_{n}{x}^{n-2}$ 이므로 $x{y}^{''}=\sum_{n=2}^{\infty }n(n-1){a}_{n}{x}^{n}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the term-by-term differentiation theorem, ${y}^{'}=\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n-1}$ so ${y}^{'}=\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n-1}\,x{y}^{'}=\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n},$ whereas ${y}^{'}=\sum_{n=2}^{\infty }n(n-1){a}_{n}{x}^{n-2}$ so $x{y}^{''}=\sum_{n=2}^{\infty }n(n-1){a}_{n}{x}^{n}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 60번우리말 번역

[계산기 사용] ${S}_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}$ 과 ${C}_{n}(x)=\sum_{n=0}^{n}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k}}{(2k)!}$ 은 각각 $\sin x$ 의 $2n+1$ 차 매클로린 다항식과 $\cos x$ 의 $2n$ 차 매클로린 다항식을 나타낸다고 하자. $n=1,..,5$ 에 대해 오차 $\frac{{S}_{n}(x)}{{C}_{n}(x)}-\tan x$ 의 그래프를 구간 $\left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$ 에서 그리고, 이를 $x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}+\frac{17{x}^{7}}{315}-\tan x$ 와 비교하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 그래프에는 곡선이 두 개 있다. 첫 번째 곡선은 원점을 지나는 감소함수이다. 두 번째 곡선은 원점을 지나는 증가함수이며 꺾은선 모양이다. 두 곡선은 원점 부근에서 서로 매우 가깝다.

$N\ge 3$ 일 때, 비 $\frac{{S}_{n}(x)}{{C}_{n}(x)}$ 은 ${p}_{7}(x)=x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}+\frac{17{x}^{7}}{315}$ 보다 $\tan x$ 를 더 잘 근사한다. 파선 곡선은 $n=1,2$ 에 대한 $\frac{{S}_{n}}{{C}_{n}}-\tan$ 이다. 점선 곡선은 $n=3$ 에 해당하고, 일점쇄선 곡선은 $n=4$ 에 해당한다. 실선 곡선은 ${p}_{7}-\tan x$ 이다.

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