테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 38번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 38번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $f$ 의 매클로린 급수를 항별로 적분하여 $F(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 의 매클로린 급수를 구하세요. $f$ 가 0에서 엄밀하게 정의되지 않으면, 0에서의 매클로린 급수의 값을 대입해도 됩니다.

$F(x)={\tan }^{-1}x;\,f(t)=\frac{1}{1+{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{t}^{2n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series of $F(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ by integrating the Maclaurin series of $f$ term by term. If $f$ is not strictly defined at zero, you may substitute the value of the Maclaurin series at zero.

$F(x)={\tan }^{-1}x;\,f(t)=\frac{1}{1+{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{t}^{2n}$

정답·풀이 보기

${\tan }^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{k}{x}^{2k+1}}{2k+1}$

원본 교재 풀이(영어)

${\tan }^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{k}{x}^{2k+1}}{2k+1}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 70번우리말 번역

[계산기 사용] ${\int }_{0}^{\pi }\frac{\sin t}{t}dt;{P}_{s}=1-\frac{{x}^{2}}{3!}+\frac{{x}^{4}}{5!}-\frac{{x}^{6}}{7!}+\frac{{x}^{8}}{9!}$ ( $\frac{\sin t}{t}$ 의 9계 도함수의 절댓값은 $0.1.)$ 으로 유계라고 가정해도 됩니다.

다 풀었으면 정답 확인

a. (증명) b. ${R}_{s}\le \frac{0.1}{(9)!}{\pi }^{9}\approx 0.0082<0.01$ 이다. ${\int }_{0}^{\pi }\left(1-\frac{{x}^{2}}{3!}+\frac{{x}^{4}}{5!}-\frac{{x}^{6}}{7!}+\frac{{x}^{8}}{9!}\right)dx=\pi -\frac{{\pi }^{3}}{3\cdot 3!}+\frac{{\pi }^{5}}{5\cdot 5!}-\frac{{\pi }^{7}}{7\cdot 7!}+\frac{{\pi }^{9}}{9\cdot 9!}=1.852$ 인 반면 ${\int }_{0}^{\pi }\frac{\sin t}{t}dt=1.85194$ 이므로 실제 오차는 약 $0.00006$ 이다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류