테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 70번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 70번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] ${\int }_{0}^{\pi }\frac{\sin t}{t}dt;{P}_{s}=1-\frac{{x}^{2}}{3!}+\frac{{x}^{4}}{5!}-\frac{{x}^{6}}{7!}+\frac{{x}^{8}}{9!}$ ( $\frac{\sin t}{t}$ 의 9계 도함수의 절댓값은 $0.1.)$ 으로 유계라고 가정해도 됩니다.

영어 원문 보기

[T] ${\int }_{0}^{\pi }\frac{\sin t}{t}dt;{P}_{s}=1-\frac{{x}^{2}}{3!}+\frac{{x}^{4}}{5!}-\frac{{x}^{6}}{7!}+\frac{{x}^{8}}{9!}$ (You may assume that the absolute value of the ninth derivative of $\frac{\sin t}{t}$ is bounded by $0.1.)$

정답·풀이 보기

a. (증명) b. ${R}_{s}\le \frac{0.1}{(9)!}{\pi }^{9}\approx 0.0082<0.01$ 이다. ${\int }_{0}^{\pi }\left(1-\frac{{x}^{2}}{3!}+\frac{{x}^{4}}{5!}-\frac{{x}^{6}}{7!}+\frac{{x}^{8}}{9!}\right)dx=\pi -\frac{{\pi }^{3}}{3\cdot 3!}+\frac{{\pi }^{5}}{5\cdot 5!}-\frac{{\pi }^{7}}{7\cdot 7!}+\frac{{\pi }^{9}}{9\cdot 9!}=1.852$ 인 반면 ${\int }_{0}^{\pi }\frac{\sin t}{t}dt=1.85194$ 이므로 실제 오차는 약 $0.00006$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. (Proof) b. We have ${R}_{s}\le \frac{0.1}{(9)!}{\pi }^{9}\approx 0.0082<0.01.$ We have ${\int }_{0}^{\pi }\left(1-\frac{{x}^{2}}{3!}+\frac{{x}^{4}}{5!}-\frac{{x}^{6}}{7!}+\frac{{x}^{8}}{9!}\right)dx=\pi -\frac{{\pi }^{3}}{3\cdot 3!}+\frac{{\pi }^{5}}{5\cdot 5!}-\frac{{\pi }^{7}}{7\cdot 7!}+\frac{{\pi }^{9}}{9\cdot 9!}=1.852...,$ whereas ${\int }_{0}^{\pi }\frac{\sin t}{t}dt=1.85194...,$ so the actual error is approximately $0.00006.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 20번우리말 번역

[계산기 사용] $\sqrt{1-{x}^{2}}$ 의 그래프는 반지름이 $1$ 인 위쪽 반원임을 떠올리세요. $\sqrt{1-{x}^{2}}$ 의 $8$ 차까지의 이항 근사를 $x=-1$ 에서 $x=1$ 까지 적분하여 $\frac{\pi }{2}$ 를 어림하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\sqrt{1-{x}^{2}}=1-\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{x}^{4}}{8}-\frac{{x}^{6}}{16}-\frac{5{x}^{8}}{128}+\cdots$ . 따라서

${\int }_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx=x-\frac{{x}^{3}}{6}-\frac{{x}^{5}}{40}-\frac{{x}^{7}}{7\cdot 16}-\frac{5{x}^{9}}{9\cdot 128}+\cdots {|}_{-1}^{1}\approx 2-\frac{1}{3}-\frac{1}{20}-\frac{1}{56}-\frac{10}{9\cdot 128}+\text{오차}=1.590$ 이고, 한편 $\frac{\pi }{2}=1.570$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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