테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 40번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 40번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $f$ 의 매클로린 급수를 항별로 적분하여 $F(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 의 매클로린 급수를 구하세요. $f$ 가 0에서 엄밀하게 정의되지 않으면, 0에서의 매클로린 급수의 값을 대입해도 됩니다.

$F(x)={\sin }^{-1}x;\,f(t)=\frac{1}{\sqrt{1-{t}^{2}}}=\sum_{k=0}^{\infty }\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ k\end{array}\right)\frac{{t}^{2k}}{k!}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series of $F(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ by integrating the Maclaurin series of $f$ term by term. If $f$ is not strictly defined at zero, you may substitute the value of the Maclaurin series at zero.

$F(x)={\sin }^{-1}x;\,f(t)=\frac{1}{\sqrt{1-{t}^{2}}}=\sum_{k=0}^{\infty }\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ k\end{array}\right)\frac{{t}^{2k}}{k!}$

정답·풀이 보기

${\sin }^{-1}x=\sum_{n=0}^{\infty }\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ n\end{array}\right)\frac{{x}^{2n+1}}{(2n+1)n!}$

원본 교재 풀이(영어)

${\sin }^{-1}x=\sum_{n=0}^{\infty }\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ n\end{array}\right)\frac{{x}^{2n+1}}{(2n+1)n!}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 56번우리말 번역

다음 문제에서 각 함수의 매클로린 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\ln (1+{x}^{2})$

다 풀었으면 정답 확인

$\ln (1+{x}^{2})=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}{x}^{2n}$ 이므로 비판정법에 의해 $R=1$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류