테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 58번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 58번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 함수의 매클로린 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\cosh x=\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$ 의 매클로린 급수를 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence of the Maclaurin series of each function.

Find the Maclaurin series of $\cosh x=\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}.$

정답·풀이 보기

${e}^{x}$ 의 급수와 ${e}^{-x}$ 의 급수를 항별로 더한다. 홀수 차수의 항은 서로 소거되므로 $\cosh x=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{2n}}{(2n)!}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Add series of ${e}^{x}$ and ${e}^{-x}$ term by term. Odd terms cancel and $\cosh x=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{2n}}{(2n)!}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 40번우리말 번역

다음 연습문제에서 $f$ 의 매클로린 급수를 항별로 적분하여 $F(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 의 매클로린 급수를 구하세요. $f$ 가 0에서 엄밀하게 정의되지 않으면, 0에서의 매클로린 급수의 값을 대입해도 됩니다.

$F(x)={\sin }^{-1}x;\,f(t)=\frac{1}{\sqrt{1-{t}^{2}}}=\sum_{k=0}^{\infty }\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ k\end{array}\right)\frac{{t}^{2k}}{k!}$

다 풀었으면 정답 확인

${\sin }^{-1}x=\sum_{n=0}^{\infty }\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ n\end{array}\right)\frac{{x}^{2n+1}}{(2n+1)n!}$

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류