테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 60번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 60번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] ${S}_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}$ 과 ${C}_{n}(x)=\sum_{n=0}^{n}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k}}{(2k)!}$ 은 각각 $\sin x$ 의 $2n+1$ 차 매클로린 다항식과 $\cos x$ 의 $2n$ 차 매클로린 다항식을 나타낸다고 하자. $n=1,..,5$ 에 대해 오차 $\frac{{S}_{n}(x)}{{C}_{n}(x)}-\tan x$ 의 그래프를 구간 $\left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$ 에서 그리고, 이를 $x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}+\frac{17{x}^{7}}{315}-\tan x$ 와 비교하세요.

영어 원문 보기

[T] Let ${S}_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}$ and ${C}_{n}(x)=\sum_{n=0}^{n}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k}}{(2k)!}$ denote the respective Maclaurin polynomials of degree $2n+1$ of $\sin x$ and degree $2n$ of $\cos x.$ Plot the errors $\frac{{S}_{n}(x)}{{C}_{n}(x)}-\tan x$ for $n=1,..,5$ and compare them to $x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}+\frac{17{x}^{7}}{315}-\tan x$ on $\left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right).$

정답·풀이 보기

이 그래프에는 곡선이 두 개 있다. 첫 번째 곡선은 원점을 지나는 감소함수이다. 두 번째 곡선은 원점을 지나는 증가함수이며 꺾은선 모양이다. 두 곡선은 원점 부근에서 서로 매우 가깝다.

$N\ge 3$ 일 때, 비 $\frac{{S}_{n}(x)}{{C}_{n}(x)}$ 은 ${p}_{7}(x)=x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}+\frac{17{x}^{7}}{315}$ 보다 $\tan x$ 를 더 잘 근사한다. 파선 곡선은 $n=1,2$ 에 대한 $\frac{{S}_{n}}{{C}_{n}}-\tan$ 이다. 점선 곡선은 $n=3$ 에 해당하고, 일점쇄선 곡선은 $n=4$ 에 해당한다. 실선 곡선은 ${p}_{7}-\tan x$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This graph has two curves. The first one is a decreasing function passing through the origin. The second is a broken line which is an increasing function passing through the origin. The two curves are very close around the origin.

The ratio $\frac{{S}_{n}(x)}{{C}_{n}(x)}$ approximates $\tan x$ better than does ${p}_{7}(x)=x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}+\frac{17{x}^{7}}{315}$ for $N\ge 3.$ The dashed curves are $\frac{{S}_{n}}{{C}_{n}}-\tan$ for $n=1,2.$ The dotted curve corresponds to $n=3,$ and the dash-dotted curve corresponds to $n=4.$ The solid curve is ${p}_{7}-\tan x.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 66번우리말 번역

[계산기 사용] $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $f(0)=1,{f}^{'}(0)=0$ 이고 ${f}^{''}(x)=-f(x)$ 인 함수 $f(x)$ 로 수렴한다고 하자. ${a}_{n}$ 에 대한 공식을 구하고, 부분합 ${S}_{N}$ 에서 $N=20$ 일 때의 그래프를 $[-5,5]$ 에서 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 그래프는 원점에 대해 대칭인 물결 모양의 곡선이다. 원점 위쪽의 y = 1 에서 봉우리를 이룬다. 가장 낮은 점은 -3 과 3 에 있다.

앞의 문제와 같이 하면 $n$ 이 홀수일 때 ${a}_{n}=0$ 이고 $n$ 이 짝수일 때 ${a}_{n}=-(n+2)(n+1){a}_{n+2}$ 이다. 따라서 ${a}_{0}=1$ 로부터 ${a}_{2n}=\frac{{(-1)}^{n}}{(2n)!}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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