테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 66번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 66번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $f(0)=1,{f}^{'}(0)=0$ 이고 ${f}^{''}(x)=-f(x)$ 인 함수 $f(x)$ 로 수렴한다고 하자. ${a}_{n}$ 에 대한 공식을 구하고, 부분합 ${S}_{N}$ 에서 $N=20$ 일 때의 그래프를 $[-5,5]$ 에서 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose that $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ converges to a function $f(x)$ such that $f(0)=1,{f}^{'}(0)=0,$ and ${f}^{''}(x)=-f(x).$ Find a formula for ${a}_{n}$ and plot the partial sum ${S}_{N}$ for $N=20$ on $[-5,5].$

정답·풀이 보기

이 그래프는 원점에 대해 대칭인 물결 모양의 곡선이다. 원점 위쪽의 y = 1 에서 봉우리를 이룬다. 가장 낮은 점은 -3 과 3 에 있다.

앞의 문제와 같이 하면 $n$ 이 홀수일 때 ${a}_{n}=0$ 이고 $n$ 이 짝수일 때 ${a}_{n}=-(n+2)(n+1){a}_{n+2}$ 이다. 따라서 ${a}_{0}=1$ 로부터 ${a}_{2n}=\frac{{(-1)}^{n}}{(2n)!}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This graph is a wave curve symmetrical about the origin. It has a peak at y = 1 above the origin. It has lowest points at -3 and 3.

As in the previous problem one obtains ${a}_{n}=0$ if $n$ is odd and ${a}_{n}=-(n+2)(n+1){a}_{n+2}$ if $n$ is even, so ${a}_{0}=1$ leads to ${a}_{2n}=\frac{{(-1)}^{n}}{(2n)!}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 64번우리말 번역

[계산기 사용] 표준화 시험 점수가 평균 $\mu =100$ , 표준편차 $\sigma =10$ 인 정규분포를 따른다고 하자. 시험 점수가 $90$ 과 $110$ 사이일 확률을 나타내는 적분을 세우고, $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-{x}^{2}/2}$ 의 $10$ 차 매클로린 다항식의 적분을 이용하여 이 확률을 어림하세요.

다 풀었으면 정답 확인

확률은 $p=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{(a-\mu )/\sigma }^{(b-\mu )/\sigma }{e}^{-{x}^{2}/2}dx$ 이고, 여기서 $a=90$ , $b=100$ 이다. 즉 $p=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-1}^{1}{e}^{-{x}^{2}/2}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-1}^{1}\sum_{n=0}^{5}{(-1)}^{n}\frac{{x}^{2n}}{{2}^{n}n!}dx=\frac{2}{\sqrt{2\pi }}\sum_{n=0}^{5}{(-1)}^{n}\frac{1}{(2n+1){2}^{n}n!}\approx 0.6827.$

이 문제로 이어서 풀기

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