테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 64번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 64번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 표준화 시험 점수가 평균 $\mu =100$ , 표준편차 $\sigma =10$ 인 정규분포를 따른다고 하자. 시험 점수가 $90$ 과 $110$ 사이일 확률을 나타내는 적분을 세우고, $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-{x}^{2}/2}$ 의 $10$ 차 매클로린 다항식의 적분을 이용하여 이 확률을 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose that a set of standardized test scores is normally distributed with mean $\mu =100$ and standard deviation $\sigma =10.$ Set up an integral that represents the probability that a test score will be between $90$ and $110$ and use the integral of the degree $10$ Maclaurin polynomial of $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-{x}^{2}/2}$ to estimate this probability.

정답·풀이 보기

확률은 $p=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{(a-\mu )/\sigma }^{(b-\mu )/\sigma }{e}^{-{x}^{2}/2}dx$ 이고, 여기서 $a=90$ , $b=100$ 이다. 즉 $p=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-1}^{1}{e}^{-{x}^{2}/2}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-1}^{1}\sum_{n=0}^{5}{(-1)}^{n}\frac{{x}^{2n}}{{2}^{n}n!}dx=\frac{2}{\sqrt{2\pi }}\sum_{n=0}^{5}{(-1)}^{n}\frac{1}{(2n+1){2}^{n}n!}\approx 0.6827.$

원본 교재 풀이(영어)

The probability is $p=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{(a-\mu )/\sigma }^{(b-\mu )/\sigma }{e}^{-{x}^{2}/2}dx$ where $a=90$ and $b=100,$ that is, $p=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-1}^{1}{e}^{-{x}^{2}/2}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-1}^{1}\sum_{n=0}^{5}{(-1)}^{n}\frac{{x}^{2n}}{{2}^{n}n!}dx=\frac{2}{\sqrt{2\pi }}\sum_{n=0}^{5}{(-1)}^{n}\frac{1}{(2n+1){2}^{n}n!}\approx 0.6827.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 68번우리말 번역

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $y(0)=1$ 이고 $y'(0)=0$ 일 때 ${y}^{''}-{y}^{'}+y=0$ 을 만족시키는 함수 $y$ 로 수렴한다고 하자. ${a}_{n+2},{a}_{n+1}$ , 그리고 ${a}_{n}$ 사이의 관계를 나타내는 식을 구하고, ${a}_{0},...,{a}_{5}$ 의 값을 계산하세요.

다 풀었으면 정답 확인

${y}^{''}=\sum_{n=0}^{\infty }(n+2)(n+1){a}_{n+2}{x}^{n}$ 이고 ${y}^{'}=\sum_{n=0}^{\infty }(n+1){a}_{n+1}{x}^{n}$ 이므로 ${y}^{''}-{y}^{'}+y=0$ 에서 $(n+2)(n+1){a}_{n+2}-(n+1){a}_{n+1}+{a}_{n}=0$ 또는 ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n}-\frac{{a}_{n-2}}{n(n-1)}$ 이 모든 $n\cdot y(0)={a}_{0}=1$ 에 대해 성립하고 ${y}^{'}(0)={a}_{1}=0$ 이므로 ${a}_{2}=\frac{1}{2},{a}_{3}=\frac{1}{6},{a}_{4}=0$ , 그리고 ${a}_{5}=-\frac{1}{120}$ 이다.

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