테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 68번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 68번대학 수준우리말 번역

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $y(0)=1$ 이고 $y'(0)=0$ 일 때 ${y}^{''}-{y}^{'}+y=0$ 을 만족시키는 함수 $y$ 로 수렴한다고 하자. ${a}_{n+2},{a}_{n+1}$ , 그리고 ${a}_{n}$ 사이의 관계를 나타내는 식을 구하고, ${a}_{0},...,{a}_{5}$ 의 값을 계산하세요.

영어 원문 보기

Suppose that $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ converges to a function $y$ such that ${y}^{''}-{y}^{'}+y=0$ where $y(0)=1$ and $y'(0)=0.$ Find a formula that relates ${a}_{n+2},{a}_{n+1},$ and ${a}_{n}$ and compute ${a}_{0},...,{a}_{5}.$

정답·풀이 보기

${y}^{''}=\sum_{n=0}^{\infty }(n+2)(n+1){a}_{n+2}{x}^{n}$ 이고 ${y}^{'}=\sum_{n=0}^{\infty }(n+1){a}_{n+1}{x}^{n}$ 이므로 ${y}^{''}-{y}^{'}+y=0$ 에서 $(n+2)(n+1){a}_{n+2}-(n+1){a}_{n+1}+{a}_{n}=0$ 또는 ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n}-\frac{{a}_{n-2}}{n(n-1)}$ 이 모든 $n\cdot y(0)={a}_{0}=1$ 에 대해 성립하고 ${y}^{'}(0)={a}_{1}=0$ 이므로 ${a}_{2}=\frac{1}{2},{a}_{3}=\frac{1}{6},{a}_{4}=0$ , 그리고 ${a}_{5}=-\frac{1}{120}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${y}^{''}=\sum_{n=0}^{\infty }(n+2)(n+1){a}_{n+2}{x}^{n}$ and ${y}^{'}=\sum_{n=0}^{\infty }(n+1){a}_{n+1}{x}^{n}$ so ${y}^{''}-{y}^{'}+y=0$ implies that $(n+2)(n+1){a}_{n+2}-(n+1){a}_{n+1}+{a}_{n}=0$ or ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n}-\frac{{a}_{n-2}}{n(n-1)}$ for all $n\cdot y(0)={a}_{0}=1$ and ${y}^{'}(0)={a}_{1}=0,$ so ${a}_{2}=\frac{1}{2},{a}_{3}=\frac{1}{6},{a}_{4}=0,$ and ${a}_{5}=-\frac{1}{120}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 48번우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 의 매클로린 급수의 0이 아닌 항을 적어도 처음 세 개 구하세요(이차 다항식일 필요는 없습니다).

$f(x)={e}^{x}\cos x$

다 풀었으면 정답 확인

$1+x-\frac{{x}^{3}}{3}-\frac{{x}^{4}}{6}+\cdots$

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류