테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 78번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 78번대학 수준우리말 번역

근삿값 $T=4\sqrt{\frac{L}{g}}{\int }_{0}^{\pi /2}\left(1+\frac{1}{2}{k}^{2}{\sin }^{2}\theta +\frac{3}{8}{k}^{4}{\sin }^{4}\theta +\cdots \right)d\theta$ 에서 ${\int }_{0}^{\pi /2}{\sin }^{4}\theta d\theta$ 의 값을 구하여 $T$ 의 더 나은 추정값을 얻으세요.

영어 원문 보기

Evaluate ${\int }_{0}^{\pi /2}{\sin }^{4}\theta d\theta$ in the approximation $T=4\sqrt{\frac{L}{g}}{\int }_{0}^{\pi /2}\left(1+\frac{1}{2}{k}^{2}{\sin }^{2}\theta +\frac{3}{8}{k}^{4}{\sin }^{4}\theta +\cdots \right)d\theta$ to obtain an improved estimate for $T.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{\pi /2}{\sin }^{4}\theta d\theta =\frac{3\pi }{16}$ 이다. 따라서 $T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+\frac{{k}^{2}}{4}+\frac{9}{256}{k}^{4}\right)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{\pi /2}{\sin }^{4}\theta d\theta =\frac{3\pi }{16}.$ Hence $T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+\frac{{k}^{2}}{4}+\frac{9}{256}{k}^{4}\right).$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 28번우리말 번역

다음 문제에서 전개식 ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ 을 이용하여 각 식의 처음 다섯 항(반드시 사차 다항식일 필요는 없다)을 쓰세요.

$f(x)={(1+{x}^{4})}^{25}$ 의 $x=0$ 에서의 $99$ 번째 미분계수를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

${f}^{(99)}(0)=0$

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류