매개변수로 나타낸 함수의 미분 연습문제 — OpenStax 2권 · 7.2절 · 32번

OpenStax 2권 · 7.2절 · 32번대학 수준우리말 풀이

다음 문제에서 매개변수의 주어진 값에서 $\frac{dy}{dx}$ 의 값을 구하세요.

$x=\cos t,\ \ y=\sin t,\ \ t=\frac{3\pi}{4}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $dy/dx$ at the value of the parameter.

$\begin{array}{cc}x=\cos \,t, & y=\sin \,t,\quad t=\frac{3\pi }{4}\end{array}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 를 먼저 $t$ 의 식으로 구한 뒤 $t$ 값을 넣어요.

1
매개변수 곡선의 기울기는 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 예요. 먼저 각각 미분해요. $\frac{dx}{dt}=-\sin t$ , $\frac{dy}{dt}=\cos t$ 예요.
2
$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\frac{\cos t}{\sin t}$
3
$t=\frac{3\pi}{4}$ 에서 $\cos t=-\frac{\sqrt2}{2}$ , $\sin t=\frac{\sqrt2}{2}$ 이므로 $\frac{dy}{dx}=-\frac{-\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=1$
4
검산해요. 이 곡선은 단위원이고, 원 위의 점 $\left(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)$ 에서 반지름의 기울기는 $-1$ 이에요. 접선은 반지름에 수직이므로 기울기는 $1$ 이에요.

답

$1$

자주 하는 실수

$\frac{dx}{dt}=-\sin t$ 의 부호를 빠뜨리면 답이 $-1$ 이 돼요.

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 7.2절 · 4번

다음 문제에서 매개변수로 나타낸 식은 각각 직선을 나타내요. 매개변수를 없애지 말고 각 직선의 기울기를 구하세요.

$x=-5t+7,\ \ y=3t-1$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$-\frac35$