벡터의 연산 연습문제 — OpenStax 3권 · 2장 복습 · 13번

OpenStax 3권 · 2장 복습 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 주어진 조건을 만족시키는 직선의 벡터방정식과 매개변수방정식을 구하세요.

두 점 $(1,3,5)$ 와 $(-2,6,-3)$ 을 지나는 직선

영어 원문 보기

For the following exercises, find the vector and parametric equations of the line with the given properties.

The line that passes through points $(1,3,5)$ and $(-2,6,-3)$

정답·풀이 보기

$x=1-3t,y=3+3t,z=5-8t,\text{r}(t)=(1-3t)\text{i}+3(1+t)\text{j}+(5-8t)\text{k}$

원본 교재 풀이(영어)

$x=1-3t,y=3+3t,z=5-8t,\text{r}(t)=(1-3t)\text{i}+3(1+t)\text{j}+(5-8t)\text{k}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.2절 · 30번우리말 번역

단위 질량의 입자 $P$ 의 시각 $t$ 에서의 공간상 위치가 $\mathbf{r}(t)$ 일 때, 이 입자의 각운동량은 $L(t)=\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)$ 이다. 어떤 스칼라 함수 $\rho$ 에 대해 $\mathbf{r}''(t)=\rho(t)\mathbf{r}(t)$ 이면, $L$ 이 상수, 즉 시간에 따라 변하지 않음을 보이세요. 여기서 $'$ 은 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ 를 뜻한다.

다 풀었으면 정답 확인

$L$ 의 도함수는

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)\big) =\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}'(t)+\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}''(t) =\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}'(t)+\mathbf{r}(t)\times\big(\rho(t)\mathbf{r}(t)\big) \end{aligned}$

이다. 평행한 두 벡터의 외적은 영벡터이므로 두 항이 모두 0이 된다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=0$ 이고, $L(t)$ 는 $t$ 에 관계없이 일정하다.

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터의 연산계산자동 분류