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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터의 연산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 2.1절 · 21번대학 수준우리말 번역

실수 tt 에 따라 성분이 달라지는 벡터 a(t)=⟨cos⁡ t,sin⁡ t⟩\text{a}(t)=\langle \cos \,t,\sin \,t\rangle 를 생각하자. 수 tt 가 변함에 따라, a(t)\text{a}(t) 의 성분도 그것을 정의하는 함수에 따라 변한다.

a. 벡터 a(0)\text{a}(0) 과 a(π)\text{a}(\pi ) 를 성분으로 나타내세요. b. 벡터 a(t)\text{a}(t) 의 크기 ∥a(t)∥\| \text{a}(t)\| 가 모든 실수 tt 에 대해 일정함을 보이세요. c. tt 가 변함에 따라 벡터 a(t)\text{a}(t) 의 종점이 원점을 중심으로 하고 반지름이 11 인 원을 그림을 보이세요.

영어 원문 보기

Consider the vector a(t)=⟨cos⁡ t,sin⁡ t⟩\text{a}(t)=\langle \cos \,t,\sin \,t\rangle with components that depend on a real number t.t. As the number tt varies, the components of a(t)\text{a}(t) change as well, depending on the functions that define them.

a. Write the vectors a(0)\text{a}(0) and a(π)\text{a}(\pi ) in component form. b. Show that the magnitude ∥a(t)∥\| \text{a}(t)\| of vector a(t)\text{a}(t) remains constant for any real number t.t. c. As tt varies, show that the terminal point of vector a(t)\text{a}(t) describes a circle centered at the origin of radius 1.1.

정답·풀이 보기

a. a(0)=⟨1,0⟩,\text{a}(0)=\langle 1,0\rangle , a(π)=⟨−1,0⟩;\text{a}(\pi )=\langle -1,0\rangle ; b. 답은 다양할 수 있다; c. 답은 다양할 수 있다

원본 교재 풀이(영어)

a. a(0)=⟨1,0⟩,\text{a}(0)=\langle 1,0\rangle , a(π)=⟨−1,0⟩;\text{a}(\pi )=\langle -1,0\rangle ; b. Answers may vary; c. Answers may vary

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.2절 · 39번우리말 번역

각기둥의 여섯 꼭짓점이 다음과 같다.

A=(1,0,0)A′=(5,0,1)B=(0,3,0)B′=(4,3,1)C=(0,0,4)C′=(4,0,5)\begin{aligned} A&=(1,0,0)\qquad & A'&=(5,0,1) \\ B&=(0,3,0) & B'&=(4,3,1) \\ C&=(0,0,4) & C'&=(4,0,5) \end{aligned}

(a) 면 중 세 개가 평행사변형임을 확인하세요. 이 면들은 직사각형인가요? (b) AA′AA' 의 길이를 구하세요. (c) 삼각형 ABCABC 의 넓이를 구하세요. (d) 이 각기둥의 부피를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) AA′=<4,0,1>AA'=\left< 4,0,1\right> 와 BB′=<4,0,1>BB'=\left< 4,0,1\right> 는 사각형 AA′B′BAA'B'B 의 마주 보는 변이다. 두 변은 길이와 방향이 같다. AB=<−1,3,0>AB=\left< -1,3,0\right> 와 A′B′=<−1,3,0>A'B'=\left< -1,3,0\right> 도 마찬가지이다. 따라서 AA′B′BAA'B'B 는 평행사변형이다. AA′⋅AB=<4,0,1>⋅<−1,3,0>=−4≠0AA'\cdot AB=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< -1,3,0\right> =-4\ne 0 이므로 AA′B′BAA'B'B 의 이웃한 두 변은 수직이 아니고, 따라서 AA′B′BAA'B'B 는 직사각형이 아니다.

마찬가지로 사각형 ACC′A′ACC'A' 의 마주 보는 변은 AA′=<4,0,1>=CC′=<4,0,1>AA'=\left< 4,0,1\right> =CC'=\left< 4,0,1\right> 이고 AC=<−1,0,4>=A′C′=<−1,0,4>AC=\left< -1,0,4\right> =A'C'=\left< -1,0,4\right> 이므로 평행사변형이다. AA′⋅AC=<4,0,1>⋅<−1,0,4>=0AA'\cdot AC=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< -1,0,4\right> = 0 이므로 ACC′A′ACC'A' 의 이웃한 두 변은 수직이고, 따라서 ACC′A′ACC'A' 는 직사각형이다.

마지막으로 사각형 BCC′B′BCC'B' 의 마주 보는 변은 BB′=<4,0,1>=CC′=<4,0,1>BB'=\left< 4,0,1\right> =CC'=\left< 4,0,1\right> 이고 BC=<0,−3,4>=B′C′=<0,−3,4>BC=\left< 0,-3,4\right> =B'C'=\left< 0,-3,4\right> 이므로 평행사변형이다. BB′⋅BC=<4,0,1>⋅<0,−3,4>=4≠0BB'\cdot BC=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< 0,-3,4\right> = 4\ne 0 이므로 BCC′B′BCC'B' 의 이웃한 두 변은 수직이 아니고, 따라서 BCC′B′BCC'B' 는 직사각형이 아니다.

(b) AA′AA' 의 길이는 ∣<4,0,1>∣=16+1=17|\left< 4,0,1\right> |=\sqrt{16+1}=\sqrt{17} 이다.

(c) 삼각형의 넓이는 밑변의 길이와 높이의 곱의 2분의 1이다. 즉, ∣AB∣|AB| 와 ∣AC∣sin⁡θ|AC|\sin\theta 의 곱의 2분의 1이며, 여기서 θ\theta 는 ABAB 와 ACAC 가 이루는 각이다. 이것은 바로 12∣AB×AC∣=12∣<−1,3,0>×<−1,0,4>∣=12∣<12,4,3>∣=132\tfrac{1}{2} |AB\times AC|=\tfrac{1}{2}|\left< -1,3,0\right> \times\left< -1,0,4\right> | =\tfrac{1}{2} |\left< 12,4,3\right>|=\frac{13}{2} 이다.

(d) 각기둥의 부피는 밑면 ABCABC 의 넓이에 높이를 곱한 것이다. 높이는 AA′AA' 의 길이에 AA′AA' 와 ABCABC 의 법선이 이루는 각의 코사인 값을 곱한 것이다. 이것은 12<12,4,3>⋅<4,0,1>=12(48+3)=512\tfrac{1}{2} \left< 12,4,3\right> \cdot\left< 4,0,1\right> =\tfrac{1}{2}(48+3)=\frac{51}{2} 과 같으며, 이는 <12,4,3>\left< 12,4,3\right> 의 길이(ABCABC 의 넓이)와 <4,0,1>\left< 4,0,1\right> 의 길이(AA′AA' 의 길이)와 <12,4,3>\left< 12,4,3\right> 와 <4,0,1>\left< 4,0,1\right> 가 이루는 각(ABCABC 의 법선과 AA′AA' 가 이루는 각)의 코사인 값을 모두 곱한 것의 2분의 1이다.

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