벡터의 연산

넓이가 $D$ 인 면의 반대쪽 꼭짓점이 원점에 오도록 좌표축을 잡는다. 넓이가 각각 $A$, $B$, $C$ 인 면의 반대쪽 꼭짓점을 각각 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ 로 나타내자. 그러면 넓이가 $A$ 인 면은 모서리 $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 를 가지므로 $A=\tfrac{1}{2} |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|$ 이다. 마찬가지로 $B=\tfrac{1}{2}|\mathbf{c}\times\mathbf{a}|$ 이고 $C=\tfrac{1}{2}|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$ 이다. 넓이가 $D$ 인 면은 $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{c}-\mathbf{a}$ 가 이루는 삼각형이므로

$$\begin{aligned} D&=\tfrac{1}{2}|(\mathbf{b}-\mathbf{a})\times(\mathbf{c}-\mathbf{a})|\\ &=\tfrac{1}{2}|\mathbf{b}\times \mathbf{c}-\mathbf{a}\times\mathbf{c}-\mathbf{b}\times\mathbf{a}|\\ &=\tfrac{1}{2}|\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}| \end{aligned}$$

이다.

가정에 의해 벡터 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ 는 모두 서로 수직이다. 따라서 벡터 $\mathbf{b}\times \mathbf{c}$ (이는 $\mathbf{a}$ 의 스칼라배이다), $\mathbf{c}\times\mathbf{a}$ (이는 $\mathbf{b}$ 의 스칼라배이다), $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ (이는 $\mathbf{c}$ 의 스칼라배이다)도 서로 수직이다. 그러므로 다음을 전개하면

$$D^2=\frac{1}{4}\big[\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}\big]\cdot\big[\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}\big]$$

교차항은 모두 0이 되어 다음이 남는다.

$$D^2=\frac{1}{4}\big[(\mathbf{b}\times \mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) +(\mathbf{c}\times\mathbf{a})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a}) +(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\big]=A^2+B^2+C^2$$