공간좌표 연습문제 — OpenStax 3권 · 2.2절 · 61번

OpenStax 3권 · 2.2절 · 61번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle$ 를 시각 $t\in [0,T]$ 에서 입자의 위치벡터라 하자. 여기서 $x,y$ , 그리고 $z$ 는 $[0,T]$ 에서 매끄러운 함수이다. 시각 $t$ 에서 입자의 순간속도는 벡터 $\text{v}(t)=\langle x'(t),y'(t),z'(t)\rangle$ 로 정의되며, 이 벡터의 성분은 함수 x, y, z 를 각각 $t$ 에 대해 미분한 도함수이다. 순간속도 벡터의 크기 $\| \text{v}(t)\|$ 를 시각 t 에서 입자의 속력이라 한다. 벡터 $\text{a}(t)=\langle {x}^{''}(t),{y}^{''}(t),{z}^{''}(t)\rangle$ 는 성분이 함수 $x,y$ , 그리고 $z$ 를 각각 $t$ 에 대해 두 번 미분한 이계도함수이며, 시각 $t$ 에서 입자의 가속도를 나타낸다. 시각 $t\in [0,30]$ 에서 입자의 위치벡터를 $\text{r}(t)=\langle \cos \,t,\sin \,t,2t\rangle$ 라 하자. 여기서 $\text{r}$ 의 성분은 센티미터로, 시간은 초로 나타낸다.

a. 처음 1초 후 입자의 순간속도, 속력, 가속도를 구하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요. b. CAS를 이용하여 입자의 경로, 즉 $t\in [0,30]$ 일 때 좌표가 $(\cos \,t,\sin \,t,2t)$ 인 모든 점의 집합을 시각화하세요.

영어 원문 보기

Let $\text{r}(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle$ be the position vector of a particle at the time $t\in [0,T],$ where $x,y,$ and $z$ are smooth functions on $[0,T].$ The instantaneous velocity of the particle at time $t$ is defined by vector $\text{v}(t)=\langle x'(t),y'(t),z'(t)\rangle ,$ with components that are the derivatives with respect to $t,$ of the functions x, y, and z, respectively. The magnitude $\| \text{v}(t)\|$ of the instantaneous velocity vector is called the speed of the particle at time t. Vector $\text{a}(t)=\langle {x}^{''}(t),{y}^{''}(t),{z}^{''}(t)\rangle ,$ with components that are the second derivatives with respect to $t,$ of the functions $x,y,$ and $z,$ respectively, gives the acceleration of the particle at time $t.$ Consider $\text{r}(t)=\langle \cos \,t,\sin \,t,2t\rangle$ the position vector of a particle at time $t\in [0,30],$ where the components of $\text{r}$ are expressed in centimeters and time is expressed in seconds.

a. Find the instantaneous velocity, speed, and acceleration of the particle after the first second. Round your answer to two decimal places. b. Use a CAS to visualize the path of the particle—that is, the set of all points of coordinates $(\cos \,t,\sin \,t,2t),$ where $t\in [0,30].$

정답·풀이 보기

a. $\text{v}(1)=\langle -0.84,0.54,2\rangle$ (각 성분의 단위는 센티미터/초); $\| \text{v}(1)\| =2.24$ (단위는 센티미터/초); $\text{a}(1)=\langle -0.54,-0.84,0\rangle$ (각 성분의 단위는 센티미터/초²);

xy평면 위쪽의 3차원 좌표계를 나타낸 그림이다. 용수철 모양의 나선이 그려져 있다. 나선은 z축을 감싸며 돌아간다. 나선은 x축 위의 x = 1인 점에서 시작한다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\text{v}(1)=\langle -0.84,0.54,2\rangle$ (each component is expressed in centimeters per second); $\| \text{v}(1)\| =2.24$ (expressed in centimeters per second); $\text{a}(1)=\langle -0.54,-0.84,0\rangle$ (each component expressed in centimeters per second squared);

This figure is of the 3-dimensional coordinate system above the xy-plane. It has a spiral drawn resembling a spring. The spiral is around the z-axis. The spiral starts on the x-axis at x = 1.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 2.2절 · 59번우리말 번역

[계산기 사용] 질량이 30 kg인 시멘트 블록이 길이가 같은 세 케이블에 매달려 있고, 케이블은 점 $P(-2,0,0),$ $Q\left(1,\sqrt{3},0\right),$ $R\left(1,-\sqrt{3},0\right)$ 에 고정되어 있다. 짐은 다음 그림과 같이 $S\left(0,0,-2\sqrt{3}\right)$ 에 놓여 있다. ${\text{F}}_{1},$ ${\text{F}}_{2},$ ${\text{F}}_{3}$ 을 각각 케이블 $RS,QS$ 와 $PS$ 에서 짐 때문에 생기는 장력이라고 하자.

a. 케이블에 작용하는 장력의 합 ${\text{F}}_{1}+{\text{F}}_{2}+{\text{F}}_{3}$ 과 평형을 이루도록 시멘트 블록에 작용하는 중력 $\text{F}$ 를 구하세요. b. 힘 ${\text{F}}_{1},$ ${\text{F}}_{2},$ ${\text{F}}_{3}$ 을 구하세요. 답은 성분 형태로 나타내세요.

이 그림은 3차원 좌표계이다. 점 4개가 그려져 있다. 첫 번째 점에는 “P(-2, 0, 0)”이라는 이름이 붙어 있다. 두 번째 점에는 “R(1, -루트 3, 0)”이라는 이름이 붙어 있다. 세 번째 점에는 “S(0, 0, -2 루트 3)”이라는 이름이 붙어 있다. 네 번째 점에는 “Q(1, 루트 3, 0)”이라는 이름이 붙어 있다. P에서 S까지, R에서 S까지, Q에서 S까지 선분이 이어져 있다. 점 S에는 “30 kg”이라고 적힌 상자가 달려 있다.

다 풀었으면 정답 확인

a. $\text{F}=-294\text{k}$ N; b. ${\text{F}}_{1}=\langle -\frac{49\sqrt{3}}{3},49,-98\rangle ,$ ${\text{F}}_{2}=\langle -\frac{49\sqrt{3}}{3},-49,-98\rangle$ , 그리고 ${\text{F}}_{3}=\langle \frac{98\sqrt{3}}{3},0,-98\rangle$ (각 성분은 뉴턴 단위이다)

이 문제로 이어서 풀기

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