외적

$\text{u}=\langle {u}_{1},{u}_{2}\rangle$ 와 $\text{v}=\langle {v}_{1},{v}_{2}\rangle$ 를 이차원 벡터라 하자. 벡터 $\text{u}$ 와 $\text{v}$ 의 외적은 정의되지 않는다. 그러나 두 벡터를 각각 삼차원 벡터 $\tilde{\text{u}}=\langle {u}_{1},{u}_{2},0\rangle$ 와 $\tilde{\text{v}}=\langle {v}_{1},{v}_{2},0\rangle$ 로 생각하면, 이 경우에는 $\tilde{\text{u}}$ 와 $\tilde{\text{v}}$ 의 외적을 정의할 수 있다. 특히 행렬식 표기로, $\tilde{\text{u}}$ 와 $\tilde{\text{v}}$ 의 외적은 다음과 같다.

$$\tilde{\text{u}}\,\times \,\tilde{\text{v}}=|\begin{array}{ccc}\text{i} & \text{j} & \text{k} \\ {u}_{1} & {u}_{2} & 0 \\ {v}_{1} & {v}_{2} & 0\end{array}|.$$

이 결과를 이용하여 $(\text{i}\cos \,\theta +\text{j}\sin \,\theta )\,\times \,(\text{i}sin\theta -\text{j}cos\theta )$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\theta$ 는 실수이다.