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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

외적

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 2.4절 · 59번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 시각 t∈[0,30]t\in [0,30] 에서 입자의 위치 벡터가 r(t)=⟨cos⁡ t,sin⁡ t,2t⟩\text{r}(t)=\langle \cos \,t,\sin \,t,2t\rangle 라고 하자. 여기서 r\text{r} 의 성분은 센티미터 단위, 시간은 초 단위로 나타낸다. OP⃗\vec{OP} 를 11초 후 입자의 위치 벡터라 하세요.

a. tt초 후 입자의 순간 속도 벡터를 v(t)\text{v}(t), 가속도 벡터를 a(t)\text{a}(t) 라 할 때, 외적 벡터 v(t) × a(t)\text{v}(t)\,\times \,\text{a}(t) 의 방향을 갖는 단위 벡터 B(t)\text{B}(t) (종법선 단위 벡터라 한다)를 구하세요. b. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여, 입자의 경로와 함께 점 PP 에서 시작하는 벡터 v(1),\text{v}(1), a(1),\text{a}(1), B(1)\text{B}(1) 을 시각화하세요.

영어 원문 보기

[T] Consider r(t)=⟨cos⁡ t,sin⁡ t,2t⟩\text{r}(t)=\langle \cos \,t,\sin \,t,2t\rangle the position vector of a particle at time t∈[0,30],t\in [0,30], where the components of r\text{r} are expressed in centimeters and time in seconds. Let OP⃗\vec{OP} be the position vector of the particle after 11 sec.

a. Determine unit vector B(t)\text{B}(t) (called the binormal unit vector) that has the direction of cross product vector v(t) × a(t),\text{v}(t)\,\times \,\text{a}(t), where v(t)\text{v}(t) and a(t)\text{a}(t) are the instantaneous velocity vector and, respectively, the acceleration vector of the particle after tt seconds. b. Use a CAS to visualize vectors v(1),\text{v}(1), a(1),\text{a}(1), and B(1)\text{B}(1) as vectors starting at point PP along with the path of the particle.

정답·풀이 보기

a. B(t)=⟨2 sin⁡ t5,−2 cos⁡ t5,15⟩;\text{B}(t)=\langle \frac{2\,\sin \,t}{\sqrt{5}},-\frac{2\,\cos \,t}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\rangle ;

b. 이 그림은 3차원 좌표계의 제1팔분공간을 나타낸다. 증가하는 곡선이 그려져 있다. 곡선 위에 "P"라고 표시된 점이 있다. 점 P에는 곡선에 접하는 접선 벡터가 있으며 "v(1)"이라고 표시되어 있다. 또한 점 P에서 곡선의 안쪽을 향하는 벡터가 있으며 "a(1)"이라고 표시되어 있다. 마지막으로, 점 P에서 z축을 향하는 벡터가 있으며 "B(1)"이라고 표시되어 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. B(t)=⟨2 sin⁡ t5,−2 cos⁡ t5,15⟩;\text{B}(t)=\langle \frac{2\,\sin \,t}{\sqrt{5}},-\frac{2\,\cos \,t}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\rangle ;

b. This figure is the first octant of the 3-dimensional coordinate system. There is a curve sketched that is increasing. On the curve is a point labeled “P.” At P there is a tangent vector to the curve labeled “v(1).” Also from P there is a vector towards the inside of the curve labeled “a(1).” Finally, there is a vector from P labeled “B(1)” pointing towards the z-axis.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 2.4절 · 55번우리말 번역

[계산기 사용] 양의 y축 방향에 놓인 길이 20-cm 렌치의 끝에 가해야 하는 힘의 크기를 구하세요. 단, 힘은 ⟨0,1,−2⟩\langle 0,1,-2\rangle 방향으로 가해지며, 원점에 있는 볼트에 100100 N·m 의 돌림힘(토크)을 만든다.

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