이차곡면과 곡면 그리기 연습문제 — OpenStax 3권 · 2.6절 · 47번

OpenStax 3권 · 2.6절 · 47번대학 수준우리말 번역

점 $Q(0,-1,0)$ 과 방정식이 $y=1$ 인 평면에서 같은 거리에 있는 점 $P(x,y,z)$ 로 이루어진 이차곡면의 방정식을 구하세요. 그리고 그 곡면이 무엇인지 말하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the quadric surface with points $P(x,y,z)$ that are equidistant from point $Q(0,-1,0)$ and plane of equation $y=1.$ Identify the surface.

정답·풀이 보기

${x}^{2}+{z}^{2}+4y=0$ , 타원포물면

원본 교재 풀이(영어)

${x}^{2}+{z}^{2}+4y=0,$ elliptic paraboloid

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.7절 · 4번우리말 번역

다음 함수의 등위곡선을 몇 개 그리세요.

(a) $f(x,y)=x^2+2y^2$ (b) $f(x,y)=xy$ (c) $f(x,y)=xe^{-y}$

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(a) 고정된 각 $c>0$ 에 대해 등위곡선 $x^2+2y^2=c$ 는 원점을 중심으로 하고 $x$ 방향 반축의 길이가 $\sqrt{c}$ , $y$ 방향 반축의 길이가 $\sqrt{c/2}$ 인 타원이다. $c=0$ 이면 등위곡선 $x^2+2y^2=c=0$ 은 한 점 $(0,0)$ 뿐이다.

(b) 고정된 각 $c\ne 0$ 에 대해 등위곡선 $xy=c$ 는 원점을 중심으로 하고 $x$ 축과 $y$ 축을 점근선으로 갖는 쌍곡선이다. $c>0$ 이면 $xy=c>0$ 을 만족하는 $x$ 와 $y$ 는 부호가 같다. 따라서 쌍곡선은 제1사분면과 제3사분면에 놓인다. $c<0$ 이면 $xy=c>0$ 을 만족하는 $x$ 와 $y$ 는 부호가 반대이다. 따라서 쌍곡선은 제2사분면과 제4사분면에 놓인다. $c=0$ 이면 등위곡선 $xy=c=0$ 은 한 점 $(0,0)$ 뿐이다.

$x>0$ 으로 제한되며, 그래야 $\frac{c}{x}>0$ 이 되어 $\ln \frac{c}{x}$ 가 정의된다. 또한
$x\rightarrow 0^+$ 일 때 $y$ 는 $-\infty$ 로 가고,
$x\rightarrow +\infty$ 일 때 $y$ 는 $+\infty$ 로 간다. 그리고
$x=c$ 일 때 $x$ 축과 만난다(즉 $y=0$ 이다).

$c<0$ 일 때 이 곡선은 다음과 같다.

$x<0$ 으로 제한되며, 그래야 $\frac{c}{x}>0$ 이 되어 $\ln \frac{c}{x}$ 가 정의된다. 또한
$x\rightarrow 0^-$ 일 때 $y$ 는 $-\infty$ 로 가고,
$x\rightarrow -\infty$ 일 때 $y$ 는 $+\infty$ 로 간다. 그리고
$x=c$ 일 때 $x$ 축과 만난다(즉 $y=0$ 이다).

$c=0$ 이면 등위곡선 $xe^{-y}=c=0$ 은 $y$ 축, 곧 $x=0$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류