이차곡면과 곡면 그리기 연습문제 — OpenStax 3권 · 2.6절 · 53번

OpenStax 3권 · 2.6절 · 53번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 원기둥 ${(x-1)}^{2}+{y}^{2}=1$ 과 구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4$ 의 교선을 비비아니 곡선이라고 한다.

이 그림은 상자 안에 있는 곡면이다. 구 하나를 직원기둥 하나가 세로로 관통하고 있다. 3차원 상자의 바깥쪽 모서리에는 3차원 좌표계를 나타내는 눈금이 있다.

a. 두 곡면의 방정식으로 이루어진 연립방정식을 풀어 교선의 방정식을 구하세요. (힌트: $x$ 와 $y$ 를 $z$ 에 대한 식으로 나타내세요 $z.)$ b. 컴퓨터 대수 시스템을 이용하여 구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4$ 위에 있는 교선을 시각화하세요.

영어 원문 보기

[T] The intersection between cylinder ${(x-1)}^{2}+{y}^{2}=1$ and sphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4$ is called a Viviani curve.

This figure is a surface inside of a box. It is a sphere with a right circular cylinder through the sphere vertically. The outside edges of the 3-dimensional box are scaled to represent the 3-dimensional coordinate system.

a. Solve the system consisting of the equations of the surfaces to find the equations of the intersection curve. (Hint: Find $x$ and $y$ in terms of $z.)$ b. Use a computer algebra system (CAS) to visualize the intersection curve on sphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4.$

정답·풀이 보기

a. $x=2-\frac{{z}^{2}}{2},y=\pm \frac{z}{2}\sqrt{4-{z}^{2}}$ , 단, $z\in [-2,2];$

이 그림은 상자 안에 있는 곡면이다. 구의 옆면에 8자 모양의 곡선이 그려져 있다. 3차원 상자의 바깥쪽 모서리에는 3차원 좌표계를 나타내는 눈금이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $x=2-\frac{{z}^{2}}{2},y=\pm \frac{z}{2}\sqrt{4-{z}^{2}},$ where $z\in [-2,2];$

This figure is a surface inside of a box. It is a sphere with a figure eight curve on the side of the sphere. The outside edges of the 3-dimensional box are scaled to represent the 3-dimensional coordinate system.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 2.6절 · 41번우리말 번역

다음 문제에서 이차곡면의 방정식이 주어진다.

a. 완전제곱식을 이용하여 방정식을 표준형으로 나타내세요. b. 어떤 곡면인지 밝히세요.

${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{z}^{2}}{3}+6x+9=0$

다 풀었으면 정답 확인

a. ${(x+3)}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{z}^{2}}{3}=0;$ b. $(-3,0,0)$ 을 중심으로 하고 z축을 대칭축으로 하는 타원뿔

이 문제로 이어서 풀기

# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석자동 분류