호의 길이와 곡률 연습문제 — OpenStax 3권 · 3.3절 · 38번

OpenStax 3권 · 3.3절 · 38번대학 수준우리말 번역

곡선 $y={e}^{x}$ 에서 $x\to \infty$ 일 때 곡률은 어떻게 되는지 설명하세요.

영어 원문 보기

What happens to the curvature as $x\to \infty$ for the curve $y={e}^{x}?$

정답·풀이 보기

곡률은 0에 가까워진다.

원본 교재 풀이(영어)

The curvature approaches zero.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.3절 · 13번우리말 번역

$\mathbb{R}^2$ 에서 함수 $y=\frac{x^3}{3}$ 의 그래프로 주어진 곡선을 $C$ 라 하고, 점 $(x, x^3/3)$ 에서 $C$ 의 곡률을 $\kappa(x)$ 라 하자. $\kappa (x)$ 가 최댓값을 갖는 점을 모두 구하세요. 그러한 점이 없다면 그 이유를 설명하세요. $x \rightarrow \infty$ 일 때와 $x \rightarrow -\infty$ 일 때 $\kappa(x)$ 의 극한은 각각 얼마인지 구하세요.

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곡선은 $y=y(x)={x^3}/{3}$ 이다. $y'(x) = x^2$ 이고 $y''(x) = 2x$ 이므로 곡률은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \kappa (x) &=\frac{\big|\frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}{x}^2}(x)\big|} {\Big[1+\big(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x)\big)^2\Big]^{3/2}} =\frac{\big|2x\big|} {\big[1+x^4\big]^{3/2}} \end{aligned}$

$\kappa (x)$ 의 임계점을 구하고 싶지만, 직접 미분하면 식이 복잡해 보인다. $\kappa (x)$ 는 음이 아닌 값만 가지므로, 그 최댓값은 함수 $\kappa ^2(x)$ 의 최댓값에 대응한다. 따라서 계산 수고를 덜기 위해 대신 $\kappa ^2(x)$ 의 임계점을 구한다.

$\begin{aligned} 0&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\kappa (x)^2 =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{4x^2}{{(1+x^4)}^3} =\frac{8x}{{(1+x^4)}^3} - 3\frac{16x^5}{{(1+x^4)}^4} =\frac{8x(1+x^4)-3\times 16x^5}{{(1+x^4)}^4} \\ &=\frac{8x(1-5x^4)}{{(1+x^4)}^4} \end{aligned}$

$\kappa (0)=0$ 이고 $x\rightarrow\pm \infty$ 일 때 $\kappa (x)\rightarrow 0$ 임에 주목한다. 따라서 최댓값은 $x=\pm 1/\sqrt[4]{5}$ 일 때 나타난다.

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# 호의 길이와 곡률계산자동 분류