호의 길이와 곡률

• 풀이 1: 상황을 기하학적으로 살펴보자. $\mathbf{R}$ 을 (해당 차원의) 공간에 그리면, 매개변수화 방법에 관계없이 한 점에서의 미분계수는 $\mathbf{R}$ 에 접하는 벡터를 주며, 이 벡터는 매개변수가 증가할 때 곡선이 움직이는 방향을 향한다. $\mathbf{a}(t_0)$ 와 $\mathbf{b}(s_0)$ 는 곡선 위의 같은 점을 나타내므로 $\mathbf{a}'(t_0)$ 와 $\mathbf{b}'(s_0)$ 는 평행하다. (미분계수가 영벡터가 아니라고 정했으므로, 영벡터와 평행한지를 따지는 번거로움은 없다.) 두 벡터는 모두 곡선의 같은 부분에 접한다. 또한 $t$ 가 증가하면 $s$ 도 증가하므로, $t$ 가 증가하는 방향은 $s$ 가 증가하는 방향과 같다. 따라서 A가 성립한다.

이제 E를 제외하기 위해 두 벡터의 크기를 살펴보자. $|\mathbf{a}'(t)|$ 는 $t$ 에 대해 곡선이 변하는 속력이며, 이는 (음이 아닌) 어떤 수도 될 수 있다. 마찬가지로 $|\mathbf{b}'(s)|=1$ 이다. 따라서 $\mathbf{b}'(s_0)$ 는 단위벡터이지만 $\mathbf{a}'(t_0)$ 는 단위벡터일 수도, 아닐 수도 있다. 그러므로 두 벡터가 반드시 같은 것은 아니다. (같을 수는 있다.)

따라서 가장 알맞은 답은 A이다.

• 풀이 2: 합성함수의 미분법으로 $\mathbf{b}'(s)$ 와 $\mathbf{a}'(t)$ 사이의 관계를 얻는다.

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}[\mathbf{a}(t(s))]=\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}\,\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s} \end{aligned}$$

따라서 벡터 $\frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s}$ 와 $\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}$ 는 스칼라 함수 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ 만큼만 차이가 난다. 그러므로 곡선 위의 어느 점에서든 이 두 벡터는 평행하다.

또한 $t$ 와 $s$ 는 양의 상관관계에 있다. $t$ 가 증가하면 호의 길이가 더 늘어나므로 $s$ 도 증가한다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ 는 음이 아니다. 게다가 미분계수가 영벡터가 아니므로 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ 는 0이 아니다. 그러므로 $\mathbf{b}'(s_0)$ 와 $\mathbf{a}'(t_0)$ 는 서로 양의 스칼라 배수이다. 즉, 두 벡터는 평행하고 같은 방향을 향한다. 그러나 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}=1$ (즉, 어떤 상수 $C$ 에 대해 $t(s)=s+C$) 이 아닌 한 두 벡터의 크기는 같지 않으며, 따라서 서로 같지 않다.

따라서 가장 알맞은 답은 A이다.