교재의 식에 따르면 스키 선수는 다음일 때 공중에 뜬다.
∣ v ∣ > g κ ∣ ȷ ^ ⋅ N ^ ∣ |\mathbf{v}|>\sqrt{\frac{g}{\kappa}|\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot\hat{\mathbf{N}}|} ∣ v ∣ > κ g ∣ ^ ⋅ N ^ ∣ κ \kappa κ N ^ \hat{\mathbf{N}} N ^
g g g 9.8 9.8 9.8 2 ^2 2 ( 9.8 m 1 s 2 ) ( 1 km 1000 m ) ( 3600 s 1 시간 ) 2 = 98 ⋅ 6 4 km h 2 = 2 5 ⋅ 3 4 ⋅ 7 2 km h 2 \left(\frac{9.8\text{ m}}{1 \text{ s}^2}\right)\left( \frac{1 \text{ km}}{1000 \text{ m}}\right)\left(\frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ 시간}} \right)^2=98\cdot 6^4~ \frac{\text{km}}{\text{h}^2}=2^5\cdot 3^4\cdot 7^2~ \frac{\text{km}}{\text{h}^2} ( 1 s 2 9.8 m ) ( 1000 m 1 km ) ( 1 시간 3600 s ) 2 = 98 ⋅ 6 4 h 2 km = 2 5 ⋅ 3 4 ⋅ 7 2 h 2 km
r ( t ) = ( ln t , 1 − t ) r ′ ( t ) = v ( t ) = ( t − 1 , − 1 ) d s d t = ∣ v ( t ) ∣ = 1 + t − 2 r ′ ′ ( t ) = a ( t ) = ( − t − 2 , 0 ) κ ( t ) = ∣ v × a ∣ ( d s d t ) 3 = t − 2 1 + t − 2 3 = ∣ t ∣ ( 1 + t 2 ) 3 / 2 = t ( 1 + t 2 ) 3 / 2 주어진 구간에서 t 는 양수임에 유의한다. T ^ ( t ) = v ( t ) ∣ v ( t ) ∣ = 1 1 + t − 2 ( t − 1 , − 1 ) = ( 1 1 + t 2 , − t 1 + t 2 ) T ^ ′ ( t ) = ( − t ( 1 + t 2 ) 3 / 2 , − 1 ( 1 + t 2 ) 3 / 2 ) ∣ T ^ ′ ( t ) ∣ = 1 t 2 + 1 N ^ ( t ) = T ^ ′ ( t ) ∣ T ^ ′ ( t ) ∣ = ( − t 1 + t 2 , − 1 1 + t 2 ) ∣ N ^ ⋅ ȷ ^ ∣ = 1 1 + t 2 \begin{aligned}
\mathbf{r}(t)&=(\ln t,1-t)\\
\mathbf{r}'(t)&=\mathbf{v}(t)=(t^{-1}, -1)\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{1+t^{-2}}\\
\mathbf{r}''(t)&=\mathbf{a}(t)=(-t^{-2},0)\\
\kappa (t)&=\frac{|\mathbf{v} \times \mathbf{a}|}{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^{3}}=\frac{t^{-2}}{\sqrt{1+t^{-2}}^3}=\frac{|t|}{(1+t^{2})^{3/2}}=\frac{t}{(1+t^{2})^{3/2}}
\\ \text{주어진 구간에서 $t$ 는 양수임에 유의한다.} \\
\hat{\mathbf{T}}(t)&=\frac{\mathbf{v}(t)}{|\mathbf{v}(t)|}=\frac{1}{\sqrt{1+t^{-2}}}(t^{-1},-1)=\left( \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}},\frac{-t}{\sqrt{1+t^{2}}}\right)\\
\hat{\mathbf{T}}'(t)&= \left( \frac{-t}{({1+t^2})^{3/2}},\frac{-1}{({1+t^2})^{3/2}}\right)\qquad\qquad
|\hat{\mathbf{T}}'(t)|=\frac{1}{t^2+1}\\
\hat{\mathbf{N}}(t)&=\frac{\hat{\mathbf{T}}'(t)}{|\hat{\mathbf{T}}'(t)|}=\left( \frac{-t}{\sqrt{1+t^2}},\frac{-1}{\sqrt{1+t^2}}\right)\\
|\hat{\mathbf{N}} \cdot \hat{\boldsymbol{\jmath}}|&=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}
\end{aligned} r ( t ) r ′ ( t ) r ′′ ( t ) κ ( t ) 주어진 구간에서 t 는 양수임에 유의한다 . T ^ ( t ) T ^ ′ ( t ) N ^ ( t ) ∣ N ^ ⋅ ^ ∣ = ( ln t , 1 − t ) = v ( t ) = ( t − 1 , − 1 ) d t d s = ∣ v ( t ) ∣ = 1 + t − 2 = a ( t ) = ( − t − 2 , 0 ) = ( d t d s ) 3 ∣ v × a ∣ = 1 + t − 2 3 t − 2 = ( 1 + t 2 ) 3/2 ∣ t ∣ = ( 1 + t 2 ) 3/2 t = ∣ v ( t ) ∣ v ( t ) = 1 + t − 2 1 ( t − 1 , − 1 ) = ( 1 + t 2 1 , 1 + t 2 − t ) = ( ( 1 + t 2 ) 3/2 − t , ( 1 + t 2 ) 3/2 − 1 ) ∣ T ^ ′ ( t ) ∣ = t 2 + 1 1 = ∣ T ^ ′ ( t ) ∣ T ^ ′ ( t ) = ( 1 + t 2 − t , 1 + t 2 − 1 ) = 1 + t 2 1
이제 지면의 “탈출 속도”를 구하는 데 필요한 값을 모두 얻었다.
∣ v ∣ = g κ ∣ N ^ ⋅ ȷ ^ ∣ = g ⋅ ( 1 + t 2 ) 3 / 2 t ( 1 + t 2 ) 1 / 2 = g ( 1 + t 2 ) t \begin{aligned}
|\mathbf{v}|&=\sqrt{\frac{g}{\kappa}|\hat{\mathbf{N}} \cdot \hat{\boldsymbol{\jmath}}|}=\sqrt{\frac{g\cdot (1+t^{2})^{3/2}}{t(1+t^2)^{1/2}}}=\sqrt{\frac{g(1+t^2)}{t}}
\end{aligned} ∣ v ∣ = κ g ∣ N ^ ⋅ ^ ∣ = t ( 1 + t 2 ) 1/2 g ⋅ ( 1 + t 2 ) 3/2 = t g ( 1 + t 2 )
스키 선수는 언덕의 어디에서든 떠오를 수 있으므로, 1 / e ≤ t ≤ e 1/e \le t \le e 1/ e ≤ t ≤ e g ( 1 + t 2 ) t \sqrt{\frac{g(1+t^2)}{t}} t g ( 1 + t 2 ) 최솟값 보다 속도가 크기만 하면 된다. 그 최솟값을 구하기 위해 더 간단한 함수 g ( t ) = 1 + t 2 t g(t)=\frac{1+t^2}{t} g ( t ) = t 1 + t 2 t = 1 t=1 t = 1 g ( 1 + t 2 ) t \sqrt{\frac{g(1+t^2)}{t}} t g ( 1 + t 2 ) t = 1 t=1 t = 1
g ( 1 + t 2 ) ∣ t ∣ ∣ t = 1 = 2 g = 2 6 ⋅ 3 4 ⋅ 7 2 = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 7 = 504 km/h \begin{aligned}
\sqrt{\frac{g(1+t^2)}{|t|}}\Bigg|_{t=1}&=\sqrt{2g}=\sqrt{2^6\cdot3^4\cdot7^2}=2^3\cdot 3^2\cdot 7 = 504\text{ km/h}
\end{aligned} ∣ t ∣ g ( 1 + t 2 ) t = 1 = 2 g = 2 6 ⋅ 3 4 ⋅ 7 2 = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 7 = 504 km/h
(스키를 타고 이 속력에 도달하기는 어려울 것이다. 더 크게 굽은 언덕을 찾기 전까지 스키 선수는 아마 땅에 붙어 있을 것이다.)