편도함수 연습문제 — OpenStax 3권 · 4장 복습 · 12번

OpenStax 3권 · 4장 복습 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 알맞게 모든 일계 도함수(전도함수 또는 편도함수)를 구하세요.

$u(x,y)={x}^{4}-3xy+1,x=2t,y={t}^{3}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find all first derivatives, full or partial, as appropriate.

$u(x,y)={x}^{4}-3xy+1,x=2t,y={t}^{3}$

정답·풀이 보기

$\frac{\partial u}{\partial x}=4{x}^{3}-3y,\frac{\partial u}{\partial y}=-3x,\frac{dx}{dt}=2,\frac{dy}{dt}=3{t}^{2},\frac{du}{dt}=40{t}^{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\partial u}{\partial x}=4{x}^{3}-3y,\frac{\partial u}{\partial y}=-3x,\frac{dx}{dt}=2,\frac{dy}{dt}=3{t}^{2},\frac{du}{dt}=40{t}^{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.3절 · 7번우리말 번역

$\alpha >0$ 를 상수라 하자. $\displaystyle u(x,y,z,t) =\frac{1}{t^{3/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)}$ 가 열방정식

$u_t = \alpha \big(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \big)$

을 모든 $t>0$ 에 대해 만족함을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\begin{aligned} u_t(x,y,z,t) &=-\frac{3}{2}\frac{1}{t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{1}{4\alpha \,t^{7/2}}(x^2+y^2+z^2) e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_x(x,y,z,t) &=-\frac{x}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{xx}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{x^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{yy}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{y^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{zz}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{z^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \end{aligned}$

이므로 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} \alpha \big(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \big) &=-\frac{3}{2\,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{x^2+y^2+z^2}{4\alpha \,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} =u_t \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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