다변수함수의 극한과 연속 연습문제 — OpenStax 3권 · 4.2절 · 40번

OpenStax 3권 · 4.2절 · 40번대학 수준우리말 번역

함수 $g(x,y)=\arctan \left(\frac{x{y}^{2}}{x+y}\right)$ 가 연속인 $xy\text{-plane}$ 의 영역을 구하세요. 공학적 도구를 사용하여 결론을 뒷받침하세요.

영어 원문 보기

Determine the region of the $xy\text{-plane}$ in which the function $g(x,y)=\arctan \left(\frac{x{y}^{2}}{x+y}\right)$ is continuous. Use technology to support your conclusion.

정답·풀이 보기

함수 $\arctan \,x$ 는 $(-\infty ,\infty )$ 에서 연속이므로 $g(x,y)=\arctan \left(\frac{x{y}^{2}}{x+y}\right)$ 는 $z=\frac{x{y}^{2}}{x+y}$ 가 연속인 곳에서 연속이다. 안쪽 함수 $z$ 는 $y=-x$ 인 점을 제외한 $xy\text{-plane}$ 의 모든 점에서 연속이다. 따라서 $g(x,y)=\arctan \left(\frac{x{y}^{2}}{x+y}\right)$ 는 $y=-x$ 인 점을 제외한 좌표평면의 모든 점에서 연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since the function $\arctan \,x$ is continuous over $(-\infty ,\infty ),$ $g(x,y)=\arctan \left(\frac{x{y}^{2}}{x+y}\right)$ is continuous where $z=\frac{x{y}^{2}}{x+y}$ is continuous. The inner function $z$ is continuous on all points of the $xy\text{-plane}$ except where $y=-x.$ Thus, $g(x,y)=\arctan \left(\frac{x{y}^{2}}{x+y}\right)$ is continuous on all points of the coordinate plane except at points at which $y=-x.$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.1절 · 1번우리말 번역

$f(x,y)$ 가 다음을 만족시키는 함수라고 하자. $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ .

참 또는 거짓: $|f(0.1,0.1)-10|<|f(0.2,0.2)-10|$

다 풀었으면 정답 확인

일반적으로 이 명제는 거짓이다. $f(x,y)=12-(1-10x)^2-(1-10y)^2$ 을 생각하자.

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=12-1-1=10$ (이 함수는 연속이다)
$f(0.1,0.1)=12-(1-1)^2-(1-1)^2=12$
$f(0.2,0.2)=12-(1-2)^2-(1-2)^2=10$

우리는 흔히 (다소 안이하게) 극한 “ $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ " 을 $(x,y)$ 가 원점에 가까워질수록 $f(x,y)$ 가 10 에 점점 가까워진다는 뜻으로 해석한다. 그러나 극한의 정의가 뜻하는 바는 정확히 이것이 아니다. 정의가 말해 주는 것은, $(x,y)$ 를 $(0,0)$ 에 충분히 가깝게 택하면 $f(x,y)$ 가 10 에 매우 가깝도록 보장할 수 있다는 것이다.

$(0,0)$ 에 가깝지 않은 어떤 $(x,y)$ 에 대해서도 $f(x,y)$ 가 10 에 매우 가까울 수 있다. 게다가 $f(x,y)$ 가 10 에 “매우 가까워지려면" $(0,0)$ 에 얼마나 가까이 가야 하는지는 알 수 없다.

이 문제로 이어서 풀기

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류