다변수함수의 극한과 연속

(a) 극좌표 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ 에서

$$\begin{aligned} \frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2} &=\frac{2r^2\cos^2\theta + r^3\cos^2\theta\sin\theta - r^3\cos\theta\sin^2\theta + 2r^2\sin^2\theta}{r^2} \\ &=2+ r\big[\cos^2\theta\sin\theta - \sin^2\theta\cos\theta \big] \end{aligned}$$

이고

$$r\big|\cos^2\theta\sin\theta - \sin^2\theta\cos\theta \big| \le 2r \rightarrow 0\text{ 이때 }r\rightarrow 0$$

이므로

$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2}=2$$

이다.

(b) $$\begin{aligned} \frac{x^2y^2 -2 x^2y + x^2} {(x^2 + y^2-2y+1)^2} =\frac{x^2(y-1)^2} {\big[x^2 + (y-1)^2\big]^2} \end{aligned}$$

이고, $(0,1)$ 을 중심으로 하는 극좌표 $x=r\cos\theta$, $y=1+r\sin\theta$ 에서

$$\frac{x^2(y-1)^2} {\big[x^2 + (y-1)^2\big]^2} =\frac{r^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{r^4} =\cos^2\theta\sin^2\theta$$

이므로 극한은 존재하지 않는다. 예를 들어 $(x,y)$ 를 직선 $y=1$ 을 따라 $(0,1)$ 로 보내면 $\theta=0$ 이므로 극한은 $0$ 이고, $(x,y)$ 를 직선 $y=x+1$ 을 따라 $(0,1)$ 로 보내면 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 이므로 극한은 $\frac{1}{4}$ 이다.