접평면과 선형근사 연습문제 — OpenStax 3권 · 4.4절 · 31번

OpenStax 3권 · 4.4절 · 31번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)={x}^{2}+3y$ 가 모든 점에서 미분가능함을 보이세요. 다시 말해, $(\Delta x,\Delta y)$ 가 $(0,0)$ 에 가까워질 때 ${\varepsilon }_{1}$ 과 ${\varepsilon }_{2}$ 가 모두 0 에 가까워지면서 $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)={f}_{x}\Delta x+{f}_{y}\Delta y+{\varepsilon }_{1}\Delta x+{\varepsilon }_{2}\Delta y$ 가 성립함을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that $f(x,y)={x}^{2}+3y$ is differentiable at every point. In other words, show that $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)={f}_{x}\Delta x+{f}_{y}\Delta y+{\varepsilon }_{1}\Delta x+{\varepsilon }_{2}\Delta y,$ where both ${\varepsilon }_{1}$ and ${\varepsilon }_{2}$ approach zero as $(\Delta x,\Delta y)$ approaches $(0,0).$

정답·풀이 보기

$\Delta z=2x\Delta x+3\Delta y+{(\Delta x)}^{2}$ . 작은 $\Delta x$ 에 대해 ${(\Delta x)}^{2}\to 0$ 이고 $z$ 는 미분가능성의 정의를 만족시킨다.

원본 교재 풀이(영어)

$\Delta z=2x\Delta x+3\Delta y+{(\Delta x)}^{2}.$ ${(\Delta x)}^{2}\to 0$ for small $\Delta x$ and $z$ satisfies the definition of differentiability.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 4.4절 · 49번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 주어진 점에서의 선형 근사를 구하세요.

$f(x,y,z)=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}},\quad P(3,2,6)$

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$\frac{3}{7}x+\frac{2}{7}y+\frac{6}{7}z$

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# 접평면과 선형근사증명·논술자동 분류