다변수 연쇄법칙 연습문제 — OpenStax 3권 · 4.5절 · 19번

OpenStax 3권 · 4.5절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

${x}^{2}-2xy+{y}^{4}=4$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ using partial derivatives.

${x}^{2}-2xy+{y}^{4}=4$

정답·풀이 보기

$\frac{dy}{dx}=\frac{y-x}{-x+2{y}^{3}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx}=\frac{y-x}{-x+2{y}^{3}}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.4절 · 8번우리말 번역

$g(s,t)=f(2s+3t,3s-2t)$ 의 모든 이계도함수를 구하세요. $f(x,y)$ 는 매끄러운 함수이므로 연쇄 법칙과 혼합 편도함수의 같음에 관한 클레로의 정리가 적용된다고 가정해도 됩니다.

다 풀었으면 정답 확인

주어진 함수는

$g(s,t)=f(2s+3t,3s-2t)$

이다.

일계도함수는

$\begin{aligned} g_s(s,t)&=2f_1(2s+3t,3s-2t)+3f_2(2s+3t,3s-2t)\\ g_t(s,t)&=3f_1(2s+3t,3s-2t)-2f_2(2s+3t,3s-2t) \end{aligned}$

이다.

이계도함수는

$\begin{aligned} g_{ss}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial s}\Big(2f_1(2s+3t,3s-2t)+3f_2(2s+3t,3s-2t)\Big)\\ &=2\Big(2f_{11}+3f_{12}\Big) +3\Big(2f_{21}+3f_{22}\Big)\\ &=4f_{11}+6f_{12}+6f_{21}+9f_{22}\\ &=4f_{11}(2s+3t,3s-2t)+12f_{12}(2s+3t,3s-2t)+9f_{22}(2s+3t,3s-2t)\\ g_{st}(s,t)&=\frac{\partial }{\partial t}\Big(2f_1(2s+3t,3s-2t)+3f_2(2s+3t,3s-2t)\Big)\\ &=2\Big(3f_{11}-2f_{12}\Big) +3\Big(3f_{21}-2f_{22}\Big)\\ &=6f_{11}(2s+3t,3s-2t)+5f_{12}(2s+3t,3s-2t)-6f_{22}(2s+3t,3s-2t)\\ g_{tt}(s,t)&=\frac{\partial }{\partial t}\Big(3f_1(2s+3t,3s-2t)-2f_2(2s+3t,3s-2t)\Big)\\ &=3\Big(3f_{11}-2f_{12}\Big) -2\Big(3f_{21}-2f_{22}\Big)\\ &=9f_{11}(2s+3t,3s-2t)-12f_{12}(2s+3t,3s-2t)+4f_{22}(2s+3t,3s-2t) \end{aligned}$

이다.

여기서 $f_1$ 은 $f$ 를 첫 번째 변수에 대해 편미분한 편도함수를 뜻하고, $f_{12}$ 는 $f$ 를 먼저 첫 번째 변수에 대해 편미분한 다음 그 결과를 두 번째 변수에 대해 편미분한 것이며, 나머지도 같은 방식이다.

이 문제로 이어서 풀기

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