다변수 연쇄법칙 연습문제 — OpenStax 3권 · 4.5절 · 35번

OpenStax 3권 · 4.5절 · 35번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서는 이 정보를 이용하세요: 함수 $f(x,y)$ 가 $f(tx,ty)={t}^{n}f(x,y)$ 를 만족하면 $n$ 차 동차함수라고 합니다. 모든 $n$ 차 동차함수에 대해 다음 등식이 성립합니다: $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=nf(x,y)$ . 주어진 함수가 동차함수임을 보이고 $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=nf(x,y)$ 임을 확인하세요.

$f(x,y)=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use this information: A function $f(x,y)$ is said to be homogeneous of degree $n$ if $f(tx,ty)={t}^{n}f(x,y).$ For all homogeneous functions of degree $n,$ the following equation is true: $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=nf(x,y).$ Show that the given function is homogeneous and verify that $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=nf(x,y).$

$f(x,y)=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$

정답·풀이 보기

$f(tx,ty)=\sqrt{{t}^{2}{x}^{2}+{t}^{2}{y}^{2}}={t}^{1}f(x,y),$ $\frac{\partial f}{\partial y}=x\frac{1}{2}{({x}^{2}+{y}^{2})}^{-1/2}\,\times \,2x+y\frac{1}{2}{({x}^{2}+{y}^{2})}^{-1/2}\,\times \,2y=1f(x,y)$

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 4.5절 · 33번우리말 번역

다음 연습문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$w=\sin (xyz),x=1-3t,y={e}^{1-t}$ 이고 $z=4t$ 일 때, $\frac{\partial w}{\partial t}$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{\partial w}{\partial t}=(-12t{e}^{1-t}\cos ((1-3t){e}^{1-t}(-4t))+4t(1-3t){e}^{1-t}\cos ((1-3t){e}^{1-t}(-4t))-4(1-3t){e}^{1-t}\cos ((1-3t){e}^{1-t}(-4t)).$

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