다변수 연쇄법칙 연습문제 — OpenStax 3권 · 4.5절 · 37번

OpenStax 3권 · 4.5절 · 37번대학 수준우리말 번역

원기둥의 부피는 $V(x,y)=\pi {x}^{2}y$ 로 주어집니다. 여기서 $x$ 는 원기둥의 반지름이고 y 는 원기둥의 높이입니다. $x$ 와 $y$ 가 $t$ 의 함수로서 $x=\frac{1}{2}t$ , $y=\frac{1}{3}t$ 이고, 따라서 $x\,\text{와}\,y$ 가 모두 시간에 따라 증가한다고 합니다. $x=2$ 이고 $y=\frac{4}{3}$ 일 때, 부피는 얼마나 빠르게 증가하는지 구하세요.

영어 원문 보기

The volume of a right circular cylinder is given by $V(x,y)=\pi {x}^{2}y,$ where $x$ is the radius of the cylinder and y is the cylinder height. Suppose $x$ and $y$ are functions of $t$ given by $x=\frac{1}{2}t$ and $y=\frac{1}{3}t$ so that $x\,\text{and}\,y$ are both increasing with time. How fast is the volume increasing when $x=2$ and $y=\frac{4}{3}?$

정답·풀이 보기

$V'=4\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$V'=4\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 4.5절 · 35번우리말 번역

다음 연습문제에서는 이 정보를 이용하세요: 함수 $f(x,y)$ 가 $f(tx,ty)={t}^{n}f(x,y)$ 를 만족하면 $n$ 차 동차함수라고 합니다. 모든 $n$ 차 동차함수에 대해 다음 등식이 성립합니다: $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=nf(x,y)$ . 주어진 함수가 동차함수임을 보이고 $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=nf(x,y)$ 임을 확인하세요.

$f(x,y)=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$

다 풀었으면 정답 확인

$f(tx,ty)=\sqrt{{t}^{2}{x}^{2}+{t}^{2}{y}^{2}}={t}^{1}f(x,y),$ $\frac{\partial f}{\partial y}=x\frac{1}{2}{({x}^{2}+{y}^{2})}^{-1/2}\,\times \,2x+y\frac{1}{2}{({x}^{2}+{y}^{2})}^{-1/2}\,\times \,2y=1f(x,y)$

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